Schwarzschildlösung

Sind die Komponenten $G^t{}_t$, $G^r{}_r$ und $G^r{}_t$ des kugelsymmetrischen Einsteintensors mit den Einsteingleichungen $G_{mn}=-\kappa T_{mn}$ durch den Energie-Impulstensor gegeben, so können daraus durch Integration $\mu(t,r)$ bis auf eine Konstante und $\nu(t,r)$ bis auf eine Funktion $2 k(t)$ bestimmt werden

$$\frac{\partial }{\partial r}\bigl (r \mathrm{e}^{-\mu}\bigr )= 1 ... ...\frac{\partial }{\partial t}\bigl (r \mathrm{e}^{-\mu}\bigr )= - r^2 G^r{}_t\ ,$$ (8.33)

$$\nu^{\,\prime}=\frac{1}{r}\bigl(-1 + \mathrm{e}^\mu\bigl(1 + r^2 G^r{}_r\bigr )\bigr )\ .$$ (8.34)

Falls insbesondere der Energie-Impulstensor und der Einstein-Tensor in einem Bereich bis auf eine kosmologische Konstante verschwinden, falls dort also $G_{mn}= - \Lambda g_{mn}$ gilt, läßt sich (8.34) einfach integrieren. Es ist $r \mathrm{e}^{-\mu}= r -\frac{\Lambda}{3}r^3 - r_0$ mit einer Integrationskonstante $r_0$, die zeitunabhängig ist, weil $G^r{}_t$ verschwindet. Es gilt also

$$g_{rr}= - \frac{1}{1 - \frac{r_0}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2}\ .$$ (8.35)

Aus $G^t{}_t - G^r{}_r= 0$ folgt $\mu^\prime +\nu^\prime = 0$, also ${\mu+\nu}= 2 k(t)$ oder $\mathrm{e}^\nu= \mathrm{e}^{2 k(t)} \mathrm{e}^{-\mu}$. Die Integrationskonstante $k(t)$ kann in einer neuen Zeitkoordinate $dt^\prime = \mathrm{e}^{k(t)}dt$ absorbiert werden. Dann gilt

$$g_{tt}=-\frac{1}{g_{rr}}=1 - \frac{r_0}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\ .$$ (8.36)

Damit ist das Birkhoffsche Theorem gezeigt: Jede kugelsymmetrische Lösung der Einsteingleichungen ist außerhalb der Materie statisch, selbst wenn im Inneren der Materie der Energie-Impulstensor zeitabhängig ist, und stimmt außerhalb der Polstellen von $g_{rr}$ mit der Schwarzschildlösung (6.15) mit kosmologischer Konstante überein. Die Lösung mit nichtverschwindender kosmologischen Konstante stammt von Friedrich Kottler [50] und von Hermann Weyl [51].

Bei $r=0$ ist die Schwarzschildlösung für $r_0\ne 0$ singulär, denn zum Beispiel die skalare Größe $R_{kl}{}^{mn}R_{mn}{}^{kl}=12 r_0^2/r^6 + 8 \Lambda^2/3$, der Kretschmannskalar, divergiert dort. In der Umgebung der Singularität wird die Näherung, Teilchen durch Weltlinien darzustellen, unzureichend, denn die Metrik ändert sich auf den Abmessungen der Teilchen, zu denen aus quantenmechanischen Gründen ausgedehnte Wellenpakete gehören.

Für $\Lambda=0$ nennen wir $r_0$ den Schwarzschildradius und identifizieren ihn durch seine Auswirkung auf die Bewegung von Testteilchen. Er ist, bis auf Naturkonstante, die gravitationserzeugende Masse, $r_0=\frac{2 G M}{c^2}$ (6.23). Sie ist, wie die astronomischen Beobachtungen ausnahmslos ergeben, in allen Fällen positiv. Diese Einschränkung der denkbaren Werte folgt nicht aus den Einsteingleichungen.

Ohne Zentralmasse, also im Fall $r_0=0$, ist die Schwarzschildlösung für $\Lambda > 0$ die de Sitter-Metrik (F.29), und die vierdimensionale Raumzeit hat die geometrischen Eigenschaften der Fläche $t^2 - x^2 - y^2 - z^2 - u^2 = - \frac{3}{\Lambda}$ im fünfdimensionalen, flachen Raum mit der Metrik $g_{mn}dx^mdx^n = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 - du^2$. Sie ist dann nicht nur kugelsymmetrisch und statisch, sondern invariant unter der de Sitter-Gruppe SO$(1,4)$.