Kruskalkoordinaten

Für $r_0 > 0$ und $0< \Lambda < 4/(9r_0{}^2)$ hat $g_{tt}$ zwei positive Nullstellen $r_1$ und $r_2$

$$g_{tt}= -\frac{\Lambda}{3r}(r-r_2)(r-r_1)(r+r_1+r_2)\ ,\quad 0 < r_1 < r_2\ .$$ (8.37)

Als Schwarzschildradius bezeichnen wir in diesem Fall die Nullstelle $r_1$. Die Metrik ist der Spezialfall $f(r)=-\frac{\Lambda}{3r}(r-r_2)(r+r_1+r_2)$, $f(r_1)>0$, einer Metrik der Form

$$g_{kl}(x) dx^k dx^l=(r-r_1)f(r)\,c^2 (dt)^2 - \frac{1}{(r-r_1)f(r)}(dr)^2 -r^2 (d\theta)^2-r^2\sin^2\theta(d\varphi)^2\ ,$$ (8.38)

die wir in einer Umgebung von $r=r_1$ genauer untersuchen wollen.

Dazu betrachten wir wie in Abbildung 8.1 eine zweidimensionale Ebene mit Koordinaten $u$ und $v$, den Kruskalkoordinaten [52,53]. Die Ebene wird von den Winkelhalbierenden $u=\pm v$ in vier Bereiche zerlegt: den rechten Bereich $\mathcal{M}_1=\{u>\vert v\vert\}$, den oberen Bereich $\mathcal{M}_2=\{v>\vert u\vert\}$, den linken Bereich $\mathcal{M}_3=\{-u>\vert v\vert\}$ und den unteren Bereich $\mathcal{M}_4=\{-v>\vert u\vert\}$.

Wir führen mit einer Funktion $F$, die wir geeignet wählen, in $\mathcal{M}_1$ und in $\mathcal{M}_3$ durch

$$c t= \frac{2}{f(r_1)} \artanh \frac{v}{u}\ ,\quad F(r) = \frac{f(r_1)}{4}(u^2-v^2)\ ,$$ (8.39)

und in $\mathcal{M}_2$ und in $\mathcal{M}_4$ durch

$$c t= \frac{2}{f(r_1)} \artanh \frac{u}{v}\ ,\quad F(r) = \frac{f(r_1)}{4}(u^2-v^2)\ ,$$ (8.40)

jeweils Koordinaten $t$ und $r$ ein und untersuchen in jedem Bereich eine Metrik von der Form (8.39). Dabei lassen wir zu, daß in den vier Bereichen $\mathcal{M}_j$ unterschiedliche Funktionen $f=f_j$ und $F=F_j$ auftreten dürfen.

Wegen

$$c\, dt = \frac{2}{f(r_1)}\frac{u dv - v du}{u^2-v^2} \quad F^\prime dr = \frac{f(r_1)}{2 }(u du - v dv)$$ (8.41)

hat der $du$-$dv$-Teil der Metrik die Form

$$\begin{multline} (r-r_1)f(r)\,c^2 (dt)^2 - \frac{(dr)^2}{(r-r_1)f(r)}=\\ =\frac... ..._1)}{(r-r_1)f(r)(F^{\prime})^2 }\frac{(udu - v dv)^2}{u^2-v^2}\ . \end{multline}$$

Wir wählen die Funktion $F$ als

$$F(r) = (r-r_1)\, -\int_{r_1}^r\!\! d\hat{r}\, \frac{f(\hat{r})-f(r_1)}{(\hat{r}-r_1)f(\hat{r})}\ ,$$ (8.42)

dann sind die Vorfaktoren der beiden Terme der Metrik gleich, denn $F$ erfüllt

$$\frac{F^\prime}{F}=\frac{f(r_1)}{(r-r_1)f(r)}\ ,$$ (8.43)

und der $du$-$dv$-Teil der Metrik ist die flache Metrik mal einem konformen Faktor $h$

$$h(r(u,v))\bigl((dv)^2 - (du)^2\bigr ) \quad h(r)=\frac{(r-r_1)f(r)}{F(r)f(r_1)}\ .$$ (8.44)

Insbesondere gilt für die Schwarzschildmetrik für $\Lambda=0$ und $r_1=r_0$

$$f(r)=\frac{1}{r}\ ,\quad F(r)=(r-r_1)\exp(\frac{r-r_1}{r_1}) \quad h(r)=\frac{r_1}{r}\exp(-\frac{r-r_1}{r_1})\ .$$ (8.45)

Die Koordinatentransformation (8.40) bildet in diesem Fall alle Ereignisse außerhalb des Schwarzschildradius, also alle $(t,r)$ mit $r>r_1$, auf den $u$-$v$-Bereich ${\mathcal M}_1$ ab.

Weltlinien mit konstantem $r>r_1$ und konstantem $\theta$ und $\varphi$ gehören zu ruhenden Beobachtern. Diese Linien sind Hyperbeln $u^2-v^2=$konst im Bereich $\mathcal{M}_1$.

Linien gleicher Koordinatenzeit $t$ sind in der $(u,v)$-Ebene Geraden durch den Ursprung. Die Gerade $v=u$ gehört zu $t=\infty$, die Gerade $v=-u$ zu $t=-\infty$. Diese Geraden bilden die entartete Hyperbel $u^2-v^2=0$, die zu $r=r_1$ gehört.

Tangentialvektoren mit $dv=\pm du$ und $d\theta=0=d\varphi$ sind lichtartig und gehören zu radial ein- oder auslaufenden Lichtstrahlen. Sie durchlaufen in der $(u,v)$-Ebene von unten nach oben Geraden, $v=\pm u +$   konst, mit einem Winkel von $\pm 45$ zu den Achsen. Koordinaten, in der Lichtstrahlen wie in Minkowskidiagrammen der flachen Raumzeit verlaufen, existieren lokal in jeder zweidimensionalen Raumzeit; denn ihre Metrik ist bis auf einen Faktor flach (E.54).

Abbildung 8.1: schwarzes Loch in Kruskal-Koordinaten $(u,v)$

Damit die Metrik bei $v=\pm u$ stetig ist, muß der Parameter $r_1=r(u,\pm u)$, die Nullstelle von $g_{tt}$, in allen vier Bereichen $\mathcal{M}_j$ übereinstimmen. Dann sind bei $u=\pm v$ die Komponenten $g_{\theta\theta}$ und $g_{\varphi\varphi}$ stetig und die Kugelschalen, die durch $\theta$ und $\varphi$ parametrisiert werden, passen aneinander.

Sind darüber hinaus die erste und die zweite Ableitung der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $f_j(r)/f_j(r_1)$, die in den vier Bereichen $\mathcal{M}_j$ die Metrik bestimmen, bei $r=r_1$ gleich, so ist die Metrik in einer Umgebung der Winkelhalbierenden $u=\pm v$ zweimal stetig differenzierbar und der Riemanntensor ist stetig. Dies gilt insbesondere, falls in allen Bereichen $\mathcal{M}_j$ eine Metrik mit derselben Funktion $f_j=f$ vorliegt.

Daher ist die Metrik (8.46) auch in einer Umgebung der Winkelhalbierenden $u=\pm v$, also in einer Umgebung von $r=r_1$ eine Lösung der Einsteingleichungen, soweit die Funktion $f\ne 0$ in den Bereichen $\mathcal{M}_j$ zu einer Lösung der Einsteingleichung gehört.

Die Funktion $r(u,v)$ ist spezieller eine Funktion von $u^2-v^2$. Ihr Wert stimmt also mit $r(u^\prime,v^\prime)$ an lorentztransformierten Argumenten überein

$$\begin{pmatrix}u^\prime\\ v^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix... ... \sinh \sigma\ \cosh \sigma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\ v \end{pmatrix}\ .$$ (8.46)

Diese Lorentztransformation läßt also $r$ invariant. Sie verschiebt $t$ (8.40)

$$r^\prime=r\ ,\qquad t^\prime = t+\frac{2}{c\,f(r_1)}\,\sigma\ .$$ (8.47)

Die Zeittranslation ist also eine Lorentztransformation der Kruskalkoordinaten $(u,v)$. Sie hat bei $(u,v)=(0,0)$ einen Fixpunkt und die Zeit kann dort, wie ein Drehwinkel bei einem Fixpunkt, keine brauchbare Koordinate sein. Zudem hat dort die Funktion $r(u,v)$ einen Sattelpunkt und ist dort als Koordinate ungeeignet.

Die Fläche $r=r_1$ ist lichtartig, das heißt, es gibt einen lichtartigen Tangentialvektor $\partial_t$, $(\partial_t,\partial_t)=g_{tt}=0$, der senkrecht auf allen anderen Tangentialvektoren der Fläche, $\partial_\theta$ und $\partial_\varphi$, steht. Daher ist jeder weitere Vektor $w$, der senkrecht auf den Tangentialvektoren der Fläche steht, ein Vielfaches von $\partial_t$ und kann nicht ein linear unabhängiger Tangentialvektor $\partial_r$ eines orthogonalen Koordinatensystems $(t,r,\theta, \varphi)$ sein. Es können nicht die Koordinaten $(t,\theta,\varphi)$ der lichtartigen Fläche $r=r_1$, die den Rand von $\mathcal{M}_1$ bildet, zu orthogonalen Koordinaten ergänzt werden.

Die Ereignisse $r=0$ bestehen in Kruskalkoordinaten aus einem weißen Loch, den Punkten $r=0$ mit $v= -\sqrt{4 r_0^2/\mathrm{e}+u^2}$ (für $\Lambda=0$), von dem nach ${\mathcal M}_1$ Lichtstrahlen nur ausgesendet werden können, und einem schwarzen Loch mit $r=0$ und $v=\sqrt{4 r_0^2/\mathrm{e}+u^2}$, das aus ${\mathcal M}_1$ nur Lichtstrahlen empfangen, aber keine Lichtstrahlen aussenden kann. Denn Licht läuft in der $(u,v)$-Ebene auf Geraden mit Winkel $\pm 45$ zu den Achsen nach oben. Auch von keinem anderen Ereignis in $\mathcal{M}_2$ kann Licht zu ${\mathcal M}_1$ gesendet werden. Jeder Lichtstrahl, der in $\mathcal{M}_2$ ausgesendet wird, endet im schwarzen Loch bei $r=0$. Der Schwarzschildradius ist also ein Horizont für Beobachter, deren Weltlinien in $\mathcal{M}_1$ verlaufen: Lichtstrahlen von Ereignissen in $\mathcal{M}_2$ können von keinem Beobachter in $\mathcal{M}_1$ oder $\mathcal{M}_3$ außerhalb des Schwarzschildhorizonts gesehen werden.

In den Bereichen $\mathcal{M}_1$ und $\mathcal{M}_3$ sind die $t$-Koordinatenlinien $u^2-v^2=$   konst zeitartig, in $\mathcal{M}_2$ und $\mathcal{M}_4$ sind sie raumartig. Die Singularität der Schwarzschildlösung liegt auf der Weltlinie $r=0$, die Grenzfall raumartiger Weltlinien $r=\varepsilon>0$ ist.

Ist die Materie eines Stern zunächst bis zu $r_{\text{Stern}}>r_1$ ausgedehnt und zieht sich die Materie des Sterns später unter dem eigenen Gewicht zusammen, so weicht die Weltlinie der Sternoberfläche, wie in Abbildung 8.1 angedeutet, von der Hyperbel $r=$konst zu kleineren Werten von $r$ ab. Die Kruskalmetrik (8.46) ist die Lösung der Einsteingleichungen im Vakuum, sie gilt also für $r>r_{\text{Stern}}$ rechts von dieser Weltlinie.

Ihr Tangentialvektor ist überall innerhalb des Vorwärtslichtkegels: Materie ist langsamer als Licht. Wenn der Stern auf weniger als den Schwarzschildradius schrumpft, ist daher das vollständige Zusammenstürzen auf die Linie $r=0$ in $\mathcal{M}_1$ unvermeidlich, Insbesondere bildet sich die Singularität des Schwarzen Lochs bei $r=0$.

Ein Weißes Loch kann nicht entstehen, denn es liegt nicht im Vorwärtslichtkegel irgendeiner vorherigen Ursache.

Auch wenn das Überschreiten des Horizonts unumkehrbar zum Zusammensturz nach $r=0$ führt, so ist dieses Überschreiten dennoch für frei fallende Beobachter ohne spektakuläre Begleiterscheinungen. Es wirken sich bei ihm nur die Gezeitenkräfte der Gravitation aus, die daher rühren, daß bei freiem Fall benachbarte Punkte durch die unterschiedliche Gravitation unterschiedlich fallen und ihren Abstand verändern. Diese Gezeitenkräfte auf eine Masse $m$ im Abstand $\delta r$ sind von der Größenordnung $m c^2 \delta r\, r_1/r^3$ (C.120) und sind am Horizont $r=r_1$ klein, wenn der Schwarzschildradius groß ist.

Für $r_0 > 0$ und $0< \Lambda < 4/(9r_0{}^2)$ hat $g_{tt}$ (8.37) eine zweite positive Nullstelle bei $r_2$ und die Metrik ist dort von der Form (8.39) mit $f=-\frac{\Lambda}{3\,r}(r-r_1)(r+r_1+r_2)$, allerdings ist $f(r_2)<0$. Die geometrischen Verhältnisse sind wie in Abbildung 8.1 mit einem Horizont bei $r_2$. Nur enthalten die Bereiche $\mathcal{M}_1$ und $\mathcal{M}_3$ jeweils das Gravitationszentrum und $r$ ist dort kleiner als $r_2$. In $\mathcal{M}_2$ und $\mathcal{M}_4$ ist $r$ größer als $r_2$. Überschreitet ein Beobachter, der von $\mathcal{M}_1$ oder $\mathcal{M}_3$ kommt, längs einer zeitartigen Weltlinie am Horizont den Wert $r_2$, so vergrößert sich mit dem Universum, das sich wegen der positiven kosmologischen Konstante ausdehnt, anschließend unausweichlich der Abstand $r$ zur gravitationserzeugenden, kugelsymmetrischen Masse.

Zwischen $r_1$ und $r_2$ wechselt das Gewicht eines ortsfesten Beobachters, der eine Weltlinie mit $\frac{dt}{ds}=1/\sqrt{g_{tt}}$ und $dr=d\theta=d\varphi =0$ durchläuft, sein Vorzeichen. Seine Beschleunigung $b^n = \frac{d^2x^n}{ds^2} + \Gamma_{kl}{}^n \frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}$ in radialer Richtung ist durch das Skalarprodukt $e_r \cdot b$ mit dem radialen Einheitsvektor $e_r$ gegeben. Für sein Gewicht $m\, e_r \cdot b$ in einer drehinvarianten, zeitunabhängigen Metrik mit $g_{tt}=-1/g_{rr}$ ergibt sich wie bei (6.93)

$$F_{\text{Gewicht}}=m \frac{d}{dr}\sqrt{g_{tt}}\ .$$ (8.48)

Die Wurzel $\sqrt{g_{tt}}$ entspricht also dem Newtonschen Gravitationspotential.

Die Ableitung von $g_{tt}$ wechselt zwischen den Nullstellen $r_1$ und $r_2$ ihr Vorzeichen und verschwindet bei einem Wert $\underline{r}$, den wir als Reichweite der Anziehung der Zentralmasse bezeichnen können. Bei $r_1$ kann keine endliche Beschleunigung den Absturz ins Schwarze Loch verhindern, bei $r_2$ kann keine endliche Beschleunigung ein Vergrößern des Abstandes zum Gravitationszentrum vermeiden.

Man kann nicht mit Kruskalkoordinaten $r_1$ und $r_2$ gemeinsam überdecken, denn der bei $r_1$ radial auslaufende Lichtstrahl verharrt bei $r_1$ und schneidet nie den bei $r_2$ radial einlaufenden Lichtstrahl, der bei $r_2$ bleibt.

Ein Beobachter bei $r_2$ ist ein Viertel des Umfangs des de Sitter-ähnlichen Universums vom Gravitationszentrum in $\mathcal{M}_1$ und $\mathcal{M}_3$ entfernt. Die drehinvariante Vakuumlösung der Einsteingleichungen mit positiver kosmologischer Konstante beschreibt ein Paar antipodaler Gravitationszentren gleicher Masse.