Lösung im Inneren von Materie

Als Quelle einer kugelsymmetrischen Metrik muß der Energie-Impulstensor eines idealisierten Sterns, der sich nicht dreht, kugelsymmetrisch sein und es können daher nur die Komponenten $T^{tt}$, $T^{tr}=T^{rt}$, $T^{rr}$ und $T^{\theta\theta }= \sin^2 \theta\, T^{\varphi\varphi }$ von Null verschieden sein und sie dürfen nicht von $\theta$ und $\varphi$ abhängen. Wenn die Bewegungsgleichungen der Materiefelder aus einer Wirkung folgen, die invariant unter Koordinatentransformationen ist, ist der Energie-Impulstensor kovariant erhalten (G.52) und erfüllt $D_m T^{m}{}_n= 0$.

Die $r$-Komponente dieser Identität kann nach $T^\theta{}_\theta$ aufgelöst werden

$$0 = \partial_t T^t{}_r + \partial_r T^r{}_r + \frac{1}{2}(\dot{\m... ...\nu^\prime}{2}(T^r{}_r - T^t{}_t) + \frac{2}{r}(T^r{}_r - T^\theta{}_\theta)\ .$$ (8.49)

Die $t$-Komponente besagt

$$0 = \partial_t T^t{}_t + \partial_r T^r{}_t + \frac{2}{r}T^r{}_t ... ...\bigl ( \dot{\mu}(T^t{}_t - T^r{}_r) + (\nu^\prime+\mu^\prime)T^r{}_t\bigr )\ .$$ (8.50)

Dabei verschwindet getrennt der eingeklammerte Teil, denn aus $D_m T^{mn}= 0$ folgt $G^l{}_m T^m{}_k = T^l{}_m G^m{}_k$ (G.56) und für eine drehinvariante Metrik und einen drehinvarianten Energie-Impulstensor lautet die $r$-$t$-Komponente dieser Gleichung

$$0 = G^r{}_t(T^t{}_t- T^r{}_r) - T^r{}_t(G^t{}_t- G^r{}_r) = \frac... ...{r}\bigl (\dot{\mu}(T^t{}_t- T^r{}_r) +(\nu^\prime+\mu^\prime)T^r{}_t\bigr )\ .$$ (8.51)

Daher erfüllt der Energie-Impulstensor die Gleichung $\partial_t (r^2 T^t{}_t)= - \partial_r (r^2 T^r{}_t)$. Sie legt $T^r{}_t$ vollständig fest

$$T^r{}_t(t,r) = - \frac{1}{r^2}\int_0^r d r^\prime\, r^{\prime\, 2}\dot{T}^{\,t}{}_t(t,r^\prime)\ ,$$ (8.52)

falls der Energie-Impulstensor überall endlich ist. Insbesondere wird die Integrationskonstante von $r^2 T^r{}_t$ dadurch festgelegt, daß $T^r{}_t$ bei $r=0$ endlich ist.

Damit sind die Einsteingleichungen (8.34, 8.35) für beliebig vorgegebene $T^t{}_t$ und $T^r{}_r$ integrabel

$$\begin{gathered}\mathrm{e}^{\displaystyle -\mu(t,r)}= - g^{rr... ... r^{\prime\,2}T^r{}_r(t,r^\prime)) - 1\bigl )\ . \end{gathered}$$ (8.53)

Die Integrationskonstante von $\mathrm{e}^{-\mu}$ ist durch die Forderung festgelegt, daß die Metrik bei $r=0$ existiert. Ein zeitabhängiger Term $\nu(t,0)$, der in der allgemeinen Lösung von $\nu(t,r)$ zusätzlich auftreten könnte, kann durch Wahl einer neuen Zeitkoordinate $t^\prime$, die $dt^\prime=\mathrm{e}^{\frac{\nu}{2}} dt$ erfüllt, absorbiert werden.

Im Inneren einer Hohlkugel, $T^{mn}(t,r)=0$ für $r<R$, hebt sich die Gravitation außenliegender, kugelsymmetrisch verteilter Massen auf.

Die weiteren Eigenschaften der kugelsymmetrischen Lösung der Einsteingleichung (8.55) beruhen auf Materieeigenschaften. Untersucht man Materie, die wie eine Flüssigkeit keine Scherspannungen zuläßt, in der sich also das Gewicht der Materie nicht wie in einem Gewölbe aus Kugelschalen abstützen kann, so ist $T^\theta{}_\theta=T^r{}_r$. Der Energie-Impulstensor ist dann an jedem Ort drehinvariant nicht nur unter Drehungen um die Vertikale, sondern um alle Achsen. Mit einem Vierervektor $u$, $u^2 = 1$, der tangential an die Weltlinien der Teilchen ist, die den Stern bilden, hat solch ein Energie-Impulstensor die Form

$$T^{mn}=\frac{1}{c}\bigl( (\rho c^2 + p)u^mu^n-pg^{mn}\bigl )\ .$$ (8.54)

Die Größe $\rho c^2=c u_mu_nT^{mn}$ ist an jedem Ort die Energiedichte im Ruhsystem der dortigen Teilchen. Daß $p$ als Druck zutreffend identifiziert ist, überprüft man mit der Kontinuitätsgleichung $D_m T^{mn}= 0$. In Richtung von $u^n$ besagt sie, daß die Länge des Tangentialvektors konstant ist, senkrecht zu $u^n$, daß die Kraft auf die Teilchen der negative Gradient des Druckes $p$ ist

$$(\rho c^2 +p)u^mD_m u^n = (g^{mn}-u^mu^n)D_m p\ .$$ (8.55)

Beim Vorzeichen ist zu beachten, daß räumliche Längenquadrate negativ sind. Auf der linken Seite ist bemerkenswert, daß Druck zu Trägheit beiträgt.

Einfachheitshalber betrachten wir im folgenden einen zeitunabhängigen Stern. Dann ist $u^m=(\mathrm{e}^{-\nu /2},0,0,0)$ und $T^t{}_t=\rho c$ und $T^r{}_r=-\frac{p}{c}$. Wegen $T^\theta{}_\theta=T^r{}_r$ verknüpft (8.51) $\rho$ und $p$ und $\nu$

$$p^\prime +\frac{\nu^\prime}{2}(\rho c^2 + p) = 0\ .$$ (8.56)

Die Gleichungen (8.55) und (8.35) verwenden wir in der Form

$$\mathrm{e}^{-\mu} =1-\frac{2\hat{m}}{r}\ ,\quad \hat{m}=\frac{\kappa c}{8\pi }m\ ,\quad m(r)=4\pi\int_0^r\!dr^\prime r^{\prime\,2}\rho(r^\prime)\ ,$$ (8.57)

$$\frac{\kappa}{c}p =\frac{\nu^\prime }{r}\bigl (1-\frac{2\hat{m}}{r}\bigr ) - \frac{2\hat{m}}{r^3}\ .$$ (8.58)

Differenzieren wir (8.60) und multiplizieren wir mit $\mathrm{e}^{\nu/2}/\sqrt{1-2\hat{m}/r}$ und ersetzen wir $p^\prime$ mit (8.58) und $p$ durch (8.60), so folgt

$$\frac{d}{dr}\bigl ( \frac{\nu^\prime}{r}\sqrt{1-\frac{2\hat{m}}{r... ...}{\sqrt{1-\frac{2\hat{m}}{r}}}\frac{d}{dr}\bigl (\frac{2\hat{m}}{r^3}\bigr )\ .$$ (8.59)

Die Ableitung auf der rechten Seite ist nicht positiv, denn mit dem Druck $p$ nimmt die Dichte nach außen ab, $r<R \Rightarrow \rho(r)\ge\rho(R)$. Es nimmt aber der Mittelwert

$$\bar{f}(R)=\frac{\int_0^R\! dx\, f(x)\, g(x) }{\int_0^R\! dx\, g(x) }$$ (8.60)

einer nicht wachsenden Funktion $f$, der mit einer positiven Gewichtsfunktion $g$ gebildet wird, nicht zu. Er ist ja wegen $\int_0^R\! dx\, f(x)\,g(x)\ge f(R) \int_0^R\! dx\, g(x)$ nicht kleiner als der Funktionswert bei $R$, $\bar{f}(R)\ge f(R)$, und die Ableitung des Mittelwertes ist nicht positiv

$$\frac{d}{dr}\bar{f}(r) = \frac{f(r) g(r)}{\int_0^r\! dx\, g(x)}- ... ...r\! dx\, g(x)}\,g(r) =\frac{f(r)-\bar{f}(r)}{\int_0^r\! dx g(x)}\,g(r) \le 0\ .$$ (8.61)

Die Funktion $2\hat{m}(r)/r^3$ ist der Mittelwert von $\frac{\kappa c}{3}\rho$ mit der Gewichtsfunktion $g(r)=r^2$ und wächst daher nicht an

$$r< R\quad \Rightarrow\quad 2\hat{m}(r)/r^3 \ge 2\hat{m}(R)/R^3\ .$$ (8.62)

Aus (8.61) folgt also die Ungleichung

$$\frac{d}{dr}\bigl ( \frac{\nu^\prime}{r}\sqrt{1-\frac{2\hat{m}}{r}}\mathrm{e}^{\frac{\nu}{2}}\bigr )\le 0\ .$$ (8.63)

An der Sternoberfläche beim Radius $R$ verschwindet der Druck bis auf den kleinen Wert $-\Lambda$, der von Vakuumenergiedichte herrührt. Einfachheitshalber vernachlässigen wir sie im folgenden, denn die kosmologische Konstante $\Lambda$ ist klein und ändert unsere Ergebnisse nur wenig. Größere Werte von $\Lambda$ Werte werden bei [54] untersucht.

Bei $R$ muß die Metrik stetig in die Vakuumlösung, die Schwarzschildlösung (6.15) mit $r_0=2\hat{m}(R)=\frac{2MG}{c^2}$ (6.23) übergehen. Insbesondere stimmt die durch ihre gravitative Auswirkung außen meßbare Masse $M$ wegen $\frac{\kappa c}{8\pi}=\frac{G}{c^2}$ (8.100) mit $m(R)$ (8.59) überein.

$$\mathrm{e}^{\nu(R)}=1-\frac{2\hat{M}}{R}=\mathrm{e}^{-\mu(R)}\ ,\... ...\frac{\nu^\prime(R)}{R}\bigl(1-\frac{2\hat{M}}{R}\bigr ) - \frac{2\hat{M}}{R^3}$$ (8.64)

Mit diese Randwerten integrieren wir (8.65) von $r$ bis zum Radius $R$ des Sterns

$$\frac{2\hat{M}}{R^3}-\frac{2}{r}\sqrt{1-\frac{2\hat{m}}{r}}\frac{d}{dr}\mathrm{e}^{\frac{\nu}{2}}\le 0 \quad \frac{\hat{M}}{R^3}\frac{r}{\sqrt{1-\frac{2\hat{m}}{r}}}\le... ...{\frac{\nu(r)}{2}}=\sqrt{1-\frac{2\hat{M}}{R}}-\mathrm{e}^{\frac{\nu(r)}{2}}\ .$$ (8.65)

Wir verkleinern die linke Seite, wenn wir in der Wurzel nicht $2\hat{m} r^2/r^3$, sondern weniger, $2\hat{M}r^2/R^3$, abziehen. Ordnen wir um, so folgt

$$\mathrm{e}^\frac{\nu(r)}{2}\le \sqrt{1-\frac{2\hat{M}}{R}}-\frac{... ...3}{2}\sqrt{1-\frac{2\hat{M}}{R}}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2\hat{M}}{R^3}r^2}\ .$$ (8.66)

Da $g_{tt}=\mathrm{e}^{\nu}$ nicht verschwindet, ist die rechte Seite für $r=0$ positiv. Daher ist bei einem stabilen Stern der Radius $R$, der durch die Größe $4\pi R^2$ der Sternoberfläche definiert ist, größer als $9/8$ mal sein durch gravitative Auswirkungen meßbarer Schwarzschildradius

$$R\ge \frac{9}{8}\,\frac{2MG}{c^2}=\frac{9}{8}\,r_0 \ .$$ (8.67)

Ein Stern, der auf weniger als $(9/8)r_0$ geschrumpft ist und den Energie-Impulstensor (8.56) einer idealen Flüssigkeit hat, in der es keine gewölbeartig tragende Kugelschichten gibt, kann nicht zeitunabhängig sein und stürzt zu einem Schwarzen Loch zusammen.

Die Wellenlänge von Licht von einer stabilen Sternoberfläche kann höchstens um $z=2$ (6.78) gravitativ rotverschoben sein. Diese Schranke an die maximale Rotverschiebung unterstellt, daß die Metrik asymptotisch in die Metrik des flachen Raumes übergeht. Sie gilt nicht im expandierenden Universum.

Bei gegebener, konstanter Dichte $\rho$ ist die Schranke $R>9/8\, r_0$ eine Schranke an die Masse $M< (3\pi G/c^2)^{-3/2}\rho^{-\frac{1}{2}}$. Neutronensterne mit einer Dichte von etwa $10^{15}$ g$\,$cm$^{-3}$ können daher nicht schwerer als 4 Sonnenmassen sein.

Ist die Sternmaterie inkompressibel, $\rho(r)=\rho(0)$ für $r<R$, so gilt in der Abschätzung (8.69) das Gleichheitszeichen und ergibt mit (8.59) und $\hat{m}=\hat{M}{r^3}/{R^3}$ die Metrik

$$g_{rr}=-\mathrm{e}^{\mu} = -\Bigl (1-\frac{2\hat{M}}{R^3}r^2\Bigr... ...\frac{2\hat{M}}{R}}- \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2\hat{M}}{R^3}r^2}\; \Bigr )^2\ ,$$ (8.68)

im Sterninneren. Ihr negativer, räumlicher Teil ist die vom flachen $\mathbb{R}^4$ auf der Kugelschale $x(r,\theta,\varphi)= (r\sin\theta\cos\varphi,\,r\sin\theta\sin\varphi,\,r\cos\theta,\, \sqrt{\frac{R^3}{2\hat{M}}-r^2})$, $r<R$, induzierte, maximal symmetrische Metrik. Allerdings zeichnen $g_{tt}$ und der Druckgradient die Vertikale als besondere Richtung aus.