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Asymptotisch flache Raumzeit

Wir untersuchen eine Metrik, die zumindest in großer Entfernung von den Quellen der Gravitation nur wenig von der Metrik des flachen Raumes abweicht

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{g}}g^{mn}= \eta^{mn}-\bar{h}^{mn}\ .$ (8.69)

Dazu zerlegen wir die Metrik

$\displaystyle g_{mn}(x)= \eta_{mn}+h_{mn}(x)+ g^{(2)}_{mn}\ ,$ (8.70)
$\displaystyle h_{mn}= \eta_{mk}\eta_{nl}\bar{h}^{kl}-\frac{1}{2}\eta_{mn}\eta_{...
...d \bar{h}^{mn}= \eta^{mk}\eta^{nl}h_{kl}-\frac{1}{2}\eta^{mn}\eta^{kl}h_{kl}\ ,$ (8.71)

und das Christoffelsymbol, $ \Gamma_{kl}{}^m = \Gamma^{(1)}_{kl}{}^m + \Gamma^{(2)}_{kl}{}^m $,

$\displaystyle \Gamma^{(1)}_{kl}{}^m=\frac{1}{2}\eta^{mn}\bigl( \partial_k h_{nl...
...bigr )\ ,\quad \Gamma^{(2)}_{kl}{}^m=\Gamma_{kl}{}^m -\Gamma^{(1)}_{kl}{}^m \ ,$ (8.72)

in Terme, die linear in der Abweichung $ \bar{h}^{mn}$ sind, und in Terme, die mindestens quadratisch in der Abweichung sind.

Ebenso zerlegen wir den Riccitensor und den Einsteintensor $ G^{mn}= R^{mn}-\frac{1}{2}g^{mn}R$,

$\displaystyle R^{(1)\,mn}$ $\displaystyle =\eta^{mk}\eta^{nl} \bigl( \partial_k \Gamma^{(1)}_{rl}{}^r-\part...
...rtial^m \partial_k h^{nk}- \partial^n \partial_k h^{mk} + \Box h^{mn}\bigr )\ ,$    
$\displaystyle G^{(1)\,mn}$ $\displaystyle = \frac{1}{2}\bigl(\Box \bar{h}^{mn}-\partial^m\partial_k\bar{h}^...
...al_k\partial_l \bar{h}^{kl}\bigr ) =\frac{1}{2}\partial_k\partial_l H^{kmln}\ ,$ (8.73)
$\displaystyle H^{klmn}$ $\displaystyle =\eta^{km} \bar{h}^{ln}-\eta^{lm} \bar{h}^{kn}-\eta^{kn}\bar{h}^{lm}+\eta^{ln}\bar{h}^{km}\ , \quad H^{klmn}=-H^{lkmn}=H^{mnkl} \ .$ (8.74)

Hier ist $ \Box = \eta^{kl}\partial_k\partial_l$ und die obenstehenden Indizes von $ \partial^m=\eta^{mn}\partial_n$ und $ h^{mn}=\eta^{mk}\eta^{nl}h_{kl}$ sind durch Multiplikation mit der flachen Metrik $ \ \eta^{mn}$ entstanden.

Der Einsteintensor unterliegt der Noetheridentität $ D_m G^{mn}= 0$ (8.18). Seine linearisierte Näherung $ G^{(1)\,mn}$ erfüllt daher identisch die Kontinuitätsgleichung $ \partial_m G^{(1)\,mn} = 0$. Diese Identität liest man auch leicht aus $ 2G^{(1)\,mn}=\partial_k\partial_l H^{kmln}$ ab, denn $ H^{klmn}$ hat die Permutationssymmetrien des Riemanntensors.

Spalten wir $ G^{(1)\,mn}$ in den Einsteingleichungen ab, so lauten sie

$\displaystyle \Box \bar{h}^{mn}-\partial^m\partial_k\bar{h}^{kn} -\partial^n\pa...
...tial_l \bar{h}^{kl} = -2\kappa\, \tau^{mn}\ , \quad \tau^{mn}=T^{mn}+ t^{mn}\ .$ (8.75)

Das hierbei auftretende Feld

$\displaystyle t^{mn}= \frac{1}{\kappa} \bigl(G^{mn} - \frac{1}{2}(\Box \bar{h}^...
...al^n\partial_k\bar{h}^{km} + \eta^{mn}\partial_k\partial_l \bar{h}^{kl})\bigr )$ (8.76)

ist aus $ \bar{h}^{mn}$ und seinen Ableitungen zusammengesetzt und mindestens quadratisch in $ \bar{h}^{mn}$. Es ist zwar kein Tensorfeld und entspricht keiner lokal meßbaren Größe, kann aber mit Vorsicht als gravitativer Energie-Impulstensor gedeutet werden, denn aus (8.78) folgen die lokalen Erhaltungsgleichungen

$\displaystyle \partial_m \tau^{mn}= 0 \ ,\quad \partial_r (x^m\tau^{nr}-x^n\tau^{mr})= 0\ ,$ (8.77)

für die Impuls- und Drehimpulsdichten von Materie und Gravitation. Insbesondere sind der totale Viererimpuls $ P^m$, der Drehimpuls $ M^{ij}=\varepsilon^{ijk}L^k$ und der anfängliche Energieschwerpunkt $ M^{0i}$,

$\displaystyle P^m=\int\! d^3 x\, \tau^{m0}\ ,\quad M^{mn}=\int\!d^3 x\, (x^m \tau^{n0}-x^n \tau^{m0})\ ,$ (8.78)

wenn die Integrale existieren und die Integranden genügend schnell abfallen, zeitunabhängig bis auf Änderung durch elektromagnetische oder gravitative Strahlung durch den Rand des Integrationsvolumens.

Durch eine Lorentztransformation und eine Translation kann man, wenn $ P^m$ zeitartig ist, zu einem Schwerpunktsystem, $ M^{0i}=0=P^i$ für $ i=1,2,3$, übergehen.

Wegen der Bewegungsgleichungen $ G^{(1)\,mn}=-\kappa \tau^{mn}$ und wegen $ 2G^{(1)\,mn}=\partial_k\partial_l H^{kmln}$ sind die Erhaltungsgrößen, so wie die Ladung in der Elektrodynamik, durch Oberflächenintegrale über den Rand des Integrationsvolumens bestimmt

$\displaystyle P^m=-\frac{1}{2\kappa}\int\!\! d^3x\,\partial_l \partial_k H^{l0k...
...bar{h}^{0k}-\partial^{0}\bar{h}^{lm}+\eta^{0m}\partial_k\bar{h}^{lk} \bigr )\ ,$    
$\displaystyle M^{mn}=-\frac{1}{2\kappa}\oint\! do_l\, \bigl(x^m\partial_kH^{knl0}+H^{lmn0}- x^n\partial_kH^{kml0}-H^{lnm0}\bigr )\ .$ (8.79)

Die Abspaltung (8.78) eines Anteils der Einsteingleichungen, der linear in $ \bar{h}^{mn}$ ist, kann zum Ausgangpunkt einer iterativen Bestimmung der Metrik und ihres Einflusses auf die Materie verwendet werden [55]. Hierbei fassen wir $ \kappa $ als Entwicklungsparameter auf und vernachlässigen zunächst alle Terme, die quadratisch oder von höherer Ordnung in $ \bar{h}^{mn}$ sind.

Damit $ \bar{h}^{mn}$ überall klein ist, muß $ \tau^{mn}$ klein und räumlich nicht zu ausgedehnt sein. Insbesondere darf nicht Vakuumenergiedichte überall zur Gravitation beitragen. Wenn die kosmologische Konstante $ \Lambda > 0$ positiv ist, muß um die de Sitter-Metrik (F.29) entwickelt werden, für negative kosmologische Konstante $ \Lambda < 0$ um die Anti-de-Sitter-Metrik. Wir betrachten $ \Lambda=0$.

In der Lorenzeichung (F.1)


vereinfachen sich die Einsteingleichungen zu inhomogenen, nichtlinearen Wellengleichungen


$\displaystyle \partial_m(\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn})= 0 = \partial_m \bar{h}^{mn}\Box \bar{h}^{mn}= -2 \kappa\, \tau^{mn}\ .$ (8.80)

Dies ist in niedrigster Ordnung $ \Box \bar{h}^{mn}= -2\kappa T^{mn}_{(0)}$. Jede Lösung dieser Gleichung läßt sich als Summe einer partikulären Lösung, dem retardierten Potential, und einer Lösung der homogenen Wellengleichung, einer linearisierten Gravitationswelle, schreiben.

$\displaystyle \bar{h}^{mn}= \bar{h}^{mn}_{\text{ret}}+ \bar{h}^{mn}_{\text{Welle}}$ (8.81)

Dabei trägt zum retardierten Potential (5.74) zur Zeit $ x^0$ am Ort $ \vec{x}$

$\displaystyle \bar{h}_{\text{ret}}^{mn}(x^0,\vec{x}) = -\frac{2\kappa}{4\pi} \i...
...T^{mn}_{(0)}(x^0-\vert\vec{x}-\vec{y}\vert,\vec{y})}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}$ (8.82)

der Energie-Impulstensor $ T^{mn}_{(0)}$ von allen Orten $ \vec{y}$ mit seinem Kepler-Potential $ 1/\vert\vec{x}-\vec{y}\vert$ bei und zwar mit dem Wert, den er zu der um die Lichtlaufzeit früheren Zeit $ y^0=x^0-\vert\vec{x}-\vec{y}\vert$ hatte.

In niedrigster Ordnung erzeugt zwar der Energie-Impulstensor der Materie Gravitation, aber die Gravitation wirkt in dieser Ordnung nicht auf die Materie zurück. Energie und Impuls der Materie sind lokal erhalten und werden nicht mit dem metrischen Feld ausgetauscht, denn vernachlässigen wir in (8.80) den gravitativen Anteil $ t^{mn}$, der mindestens quadratisch in $ \bar{h}^{mn}$ ist, so gilt für den Energie-Impulstensor der Materie

$\displaystyle \partial_m T_{(0)}^{mn}= 0\ .$ (8.83)

Folglich (5.83) genügt das retardierte Potential auch der Lorenzbedingung $ \partial_m \bar{h}^{mn} = 0$.

Beispielsweise gilt die lokale Erhaltung von Energie und Impuls bei einer ruhenden Wolke freier Teilchen mit Massendichte $ \rho(\vec{x})$

$\displaystyle T^{00}_{(0)}= \rho(\vec{x})\,c$ (8.84)

oder bei einer axialsymmetrischen, um die $ z$-Achse rotierenden Massenverteilung

$\displaystyle T^{00}_{(0)}=\rho\, c\ ,\quad T^{01}_{(0)}=T^{10}_{(0)}= - \rho\, \Omega y \ ,\quad T^{02}_{(0)}=T^{20}_{(0)}= \rho\, \Omega x \ ,$ (8.85)

bei der die Massendichte $ \rho$ und die Winkelgeschwindigkeit $ \Omega$ beliebige Funktionen von $ z$ und $ x^2+y^2$ sind.



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