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Zeitunabhängiges Fernfeld

Bis auf Terme, die wie $ 1/r^3$ abfallen, ist, wie in (5.103) gezeigt, das retardierte Potential von einem zeitunabhängigen Energie-Impulstensor

$\displaystyle -\frac{4\pi}{2\kappa}\bar{h}^{mn} = \frac{1}{r}\int\! d^3 y\, T^{mn} + \frac{x^i}{r^3}\int\! d^3 y\, y^i\,T^{mn}\ .$ (8.86)

Die hierbei auftretenden Integrale vereinfachen sich, denn aus $ \partial_n T^{mn}=0$ folgt

$\displaystyle T^{mn}=\partial_l(x^mT^{nl})=\frac{1}{2}\partial_k\partial_l (x^m x^n T^{kl})\ .$ (8.87)

Selbst wenn die Impulsdichten nicht verschwinden, so verschwindet bei einem zeitunabhängigen Energie-Impulstensor der räumliche Gesamtimpuls

$\displaystyle P^i=\int\! d^3x\, T^{i0}=\int\! d^3x\,\partial_m (x^i T^{0m}) =\int\! d^3x\,x^i \partial_0 T^{00}=0\ ,\quad i=1,2,3\ ,$ (8.88)

denn das Integral über die räumliche Divergenz verschwindet.

Aus gleichem Grund verschwinden für $ i,j,k\in \{1,2,3\}$ die Momente

$\displaystyle \int\! d^3x\, (x^iT^{j0}+x^jT^{i0})=\int\!d^3x\,\partial_m(x^ix^j T^{m0})= \int\!d^3x\,x^ix^j \partial_0T^{00}=0\ ,$ (8.89)
$\displaystyle \int\! d^3x\, T^{ij}=\int\!d^3x\,\frac{1}{2}\partial_m\partial_n(x^ix^j T^{mn}) =\int\!d^3x\,\frac{1}{2}x^ix^j\partial_0\partial_0 T^{00}=0\ ,$ (8.90)
$\displaystyle \int\! d^3x\, x^k T^{ij}= \int\! d^3x\, \frac{1}{2}\partial_m(x^k\partial_n(x^ix^jT^{mn})-x^ix^jT^{km})= 0\ .$ (8.91)

Durch Wahl des Ursprungs verschwinden die Koordinaten $ M^{0i}$ des Energieschwerpunktes

$\displaystyle 0=M^{0i}=\int\!d^3x\, (x^iT^{00}-x^0 T^{i0})=\int\!d^3x\, x^i\,T^{00}\ .$ (8.92)

Damit ist das Fernfeld einer zeitunabhängigen Energie-Impulsverteilung in erster Ordnung in $ \kappa $ bis auf Terme der Ordnung $ 1/r^3$,

\begin{equation*}\begin{aligned}\bar{h}^{00}&= -\frac{2\kappa }{4\pi}\frac{M c}{...
...d^3x\,(x^iT^{0j}-x^jT^{0i})\ ,\\ \bar{h}^{ij}&=0\ , \end{aligned}\end{equation*}

vollständig durch die Masse $ M$ und den Drehimpuls $ \vec{L}$ festgelegt.

Masse und Drehimpuls können diesem Fernfeld ebenso mit (8.82) abgelesen werden, $ P^0=Mc$, $ P^i=0=M^{0i}$, $ M^{ij}=\varepsilon^{ijk}L^k$. Diese Oberflächenintegrale behalten ihre Bedeutung in der asymptotisch flachen Raumzeit, selbst wenn die Quelle zeitabhängig oder die Gravitation in einem beschränkten Bereich stark wird.




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