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Identifizierung von $ \kappa $

Die nichtverschwindenden Komponenten von $ h_{mn}$ (8.74) sind in unserer Näherung

\begin{equation*}\begin{aligned}h_{00}&=h_{11}=h_{22}=h_{33}= -\frac{\kappa}{4\p...
...kappa}{4\pi} \varepsilon^{ijk}\frac{x^j}{r^3}L^k\ . \end{aligned}\end{equation*}

Die Entwicklung der Schwarzschildmetrik in harmonischen Koordinaten (F.7)

$\displaystyle g_{00}= 1-\frac{r_0}{r}+O(1/r^3)\ ,\quad g_{ij}= -\delta_{ij}(1+\frac{r_0}{r} + \frac{r_0^2}{4r^2}) - \frac{r_0^2}{4r^4}x^ix^j+O(1/r^3)$ (8.95)

zeigt durch Vergleich der niedrigsten Ordnung $ r_0=\frac{\kappa M c}{4\pi}$. Da wir den Schwarzschildradius $ r_0$ durch seine Auswirkung auf Bahnen von Testteilchen im schwachen Gravitationsfeld schon als $ r_0=\frac{2 G M}{c^2}$ (6.23) identifiziert haben, folgt

$\displaystyle \kappa=\frac{8 \pi G}{c^3}\ .$ (8.96)

Die Entwicklung (8.99) gibt vollständig die Korrekturen höher Ordnung in $ \kappa $, die zum zeitunabhängigen Fernfeld bis zur Ordnung $ 1/r^2$ beitragen. Korrekturen, die von fehlender Kugelsymmetrie herrühren, verhalten sich höchstens wie Drehimpulsbeiträge mal $ 1/r$-Beiträgen und fallen wie $ 1/r^3$ ab.

Man beachte, daß (8.74) nur für Korrekturen erster Ordnung gilt; die Entwicklung von (F.9) bis auf Terme, die wie $ 1/r^3$ abfallen, führt auf

$\displaystyle \bar{h}^{00}=-\frac{2r_0}{r}-\frac{7r_0^2}{4r^2}\ ,\quad \bar{h}^...
...0^2}{4r^4}\ ,\quad \bar{h}^{0i}= \frac{2G }{c^3r^3}\varepsilon^{ijk} x^j L^k\ .$ (8.97)




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