Thirring-Lense-Effekt

Anders als in Newtonscher Gravitationstheorie verursacht auch ein Drehimpuls $\vec{L}$ ein Gravitationsfeld ${h}_{0i}$ (8.98). Es bewirkt den Thirring-Lense-Effekt^8.2 [56], daß die räumlichen Bezugsrichtungen eines ruhenden Beobachters, deren Drehungsfreiheit er durch hin- und herlaufendes Licht überwacht (C.140), sich gegenüber den Richtungen zu den Fixsternen drehen. Dieser Effekt tritt in einem kugelsymmetrischen Gravitationsfeld nicht auf: wie (6.89) für $\omega = 0$ zeigt, sind dort die Richtungen $e_r$, $e_\theta$ und $e_\varphi$ drehungsfrei.

In niedrigster Ordnung in $1/r$ reicht es, den Effekt linear in $\vec{L}$ für verschwindende Masse zu berechnen, denn sie bewirkt nur Korrekturen höherer Ordnung.

Die Weltlinie eines ortsfesten Beobachters mit Tangentialvektor $e_0{}^m=\delta_0{}^m=\frac{dx^m}{ds}$ ist für $M=0$ eine geodätische Weltlinie der Metrik (8.98), denn die Christoffelsymbole $\Gamma_{00}{}^m$ und übrigens auch $\Gamma_{0m}{}^0$ verschwinden, und mit der Notation $\frac{\delta}{\delta s}=e_0{}^m D_m$ gilt $\frac{\delta e_0}{\delta s}= 0$. Wie ein Magnet zieht ein Drehimpuls ein ruhendes Testteilchen weder an noch stößt er es ab.

Die räumlichen Bezugsrichtungen $e_i$, $i=1,2,3$, zu den zeitlich unveränderlichen Fixsternen haben in niedrigster Ordnung die Komponenten $e_i{}^m=\delta_i{}^m$. Die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\Omega}$ dieser Basis relativ zur drehungsfreien Basis entnehmen wir (C.141) für $\hat{b}_i=0$,

$$\frac{\delta e_i}{\delta s}= \frac{1}{c}\,\omega_{ij}e_j\ ,\quad \Omega^k=\frac{1}{2} \varepsilon^{kij}\omega_{ij} \ .$$ (8.98)

Wegen $\frac{de_i}{ds}= 0$ und $\Gamma_{rs}{}^m e_0{}^r e_i{}^s=\Gamma_{0i}{}^j e_j{}^m$ ist

$$\omega_{ij}=c\Gamma_{0i}{}^j=-c\Gamma_{0i\,j}=-\frac{c}{2}(\parti... ...\varepsilon^{jkl}\partial_i -\varepsilon^{ikl}\partial_j )\frac{x^kL^l}{r^3}\ ,$$ (8.99)

und mit $\varepsilon^{kij}\varepsilon^{jfg}=\delta^{kf}\delta^{ig}-\delta^{kg}\delta^{if}$ ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit

$$\Omega^k =\frac{G}{c^2}\frac{1}{r^5}\bigl( L^k r^2 - 3x^k (\vec{x}\vec{L})\bigr )\ ,$$ (8.100)

mit der sich die Fixsterne um einen Beobachter drehen, der am Ort $\vec{x}$ ruht. Das Vektorfeld $\vec{\Omega}=\frac{G}{c^2} L^i \partial_i \frac{\vec{x}\,}{\,r^3}$ hat die Ortsabhängigkeit der Feldstärke eines Dipols mit Dipolmoment $\vec{L}$.

Bei einer starr mit der Winkelgeschwindigkeit $\hat{\Omega}$ rotierenden, homogenen Kugel mit Radius $R$ ist $L=2/5\, MR^2 \hat{\Omega}$ und die Präzession hat den Betrag $\Omega=LG/(c^2R^3)= r_0/(5R)\, \hat{\Omega}$. Am Äquator der Erde, deren Schwarzschildradius $r_{0\,\text{Erde}}=0{,}888\cdot 10^{-2}\metre$ und deren Radius $6{,}38\cdot 10^{6}\metre$ beträgt [1], dauert eine Umdrehung der Fixsterne relativ zum drehungsfreien Bezugssystem $\hat{\Omega}/\Omega= 358\cdot 10^{7}$ mal länger als ein Sternentag, also etwa $10^7$ Jahre.

Für einen auf der Erdoberfläche mitgeführten Beobachter kommt durch die Kreisbewegung Präzession, in einer Erdumlaufbahn geodätische Präzession (6.103), hinzu. Dieser de Sitter-Effekt und der in einer Erdumlaufbahn hundertmal kleinere Thirring-Lense-Effekt soll im Experiment Gravity-Probe-B in einem Satellit gemessen werden, der im April 2004 gestartet wurde [57].