Gemische und statistische Operatoren

Die Quantenstatistik beschäftigt sich jedoch mit der Frage, wie wir Systeme beschreiben können, von denen der Zustand nicht exakt bekannt ist. Wir können uns etwa vorstellen, daß ein Ensemble des Systems vorliegt, das aus verschiedenen voneinander unabhängigen Quellen $Q_j$ ( $j \in \{1,\ldots,n\}$ stammt, von denen jede das System in einem exakt bekannten Zustand $[\ket{\psi_j}]$ liefert. Die relativen Intensitäten der jeweiligen Quellen seien mit $\lambda_j$ bezeichnet. Man spricht in einem solchen Falle von Präparation eines Ensembles oft von einem Gemisch und bezeichnet den dabei präparierten Zustand entsprechend als gemischten Zustand^1.1.

Es ist zwar $\sum_{j=1}^n \lambda_j=1$ , aber wichtig zu bemerken, daß die $\lambda_j$ i.a. nicht die Wahrscheinlichkeiten sind, ein System aus dem Ensemble im Zustand $[\ket{\psi}_j]$ zu finden, denn die $\ket{\psi}_j$ müssen nicht orthogonal sein, und $\mathcal{P} \{[\ket{\psi}_j] \}_{j \in \{1,\ldots,n \}}$ kann dann keine Ereignisalgebra mit $\Omega=\{[\ket{\psi_j}] \}_{j \in \{1,\ldots,n \}}$ als Ergebnismenge bilden, weil sich die Zustände eben nicht gegenseitig ausschließen, wenn die $\ket{\psi_j}$ nicht orthogonal zueinander sind.

Jetzt betrachten wir einen beliebigen Zustand $[\ket{\phi}]$ und fragen nach der Wahrscheinlichkeit, einen aus dem Gemisch entnommenen Vertreter des Systems in diesem Zustand anzutreffen. Die dazugehörige Observable ist $\op{O}=\ketbra{\phi}{\phi}$ . Wegen $\op{O}=\op{O}^2$ sind die möglichen Eigenwerte 0 und $1$ . Wird der Eigenwert $1$ gemessen, ist das System im Zustand $[\ket{\phi}]$ gefunden worden, andernfalls nicht.

Wir wissen, daß sich der Vertreter des Gemischs in einem der Zustände $[\ket{\psi_j}]$ befindet. Ist das der Fall, ist gemäß (1.81) die Wahrscheinlichkeit, daß das System im Zustand $[\ket{\phi}]$ gefunden wird, $p(1)=\vert\braket{\phi}{\psi_j}\vert^2$ , wobei wir annehmen, daß die beteiligten Zustandskets normiert sind. Entsprechend der Anteile der Systeme in dem Gemisch liegt es nahe, die Wahrscheinlichkeit, daß $[\ket{\phi}]$ festgestellt wird, mit

$$p([\ket{\phi}])=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j \braket{\phi}{\psi_j} \b... ...phi} \left (\sum_{j=1}^{n} \lambda_j \ketbra{\psi_j}{\psi_j} \right) \ket{\phi}$$ (1.134)

anzunehmen. Man bezeichnet den in Klammern stehenden Operator als

$$\op{R}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j \ketbra{\psi_j}{\psi_j}$$ (1.135)

als den zu dem präparierten Gemisch gehörigen statistischen Operator des Systems. Damit läßt sich (1.134) durch

$$p([\ket{\phi}]) = \matrixe{\phi}{\op{R}}{\phi}$$ (1.136)

ausdrücken.

Die Eigenschaften des Dichteoperators sind schnell geklärt: Es ist offenbar ein hermitescher Operator. Wegen $\lambda_j>0$ ist

$$p([\ket{\phi}]) \geq 0,$$ (1.137)

der statistische Operator also positiv semidefinit.

Jetzt können wir auch den Erwartungswert einer an den Konstituenten des Gemisches gemessenen Observablen $\op{O}$ angeben:

$$\erw{O} = \sum_{n=1}^{\infty} o_k p([\ket{\op{O},k}]) = \sum_{n=1... ...{n=1}^{\infty} \matrixe{\op{O},k}{\op{R} \op{O}}{\op{O,k}}:=\Tr(\op{R} \op{O}).$$ (1.138)

Dabei ist $\{\ket{\op{O},k}\}_{k \in \N_{>0}}$ das vollständige Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von $\op{O}$ . Wir beschränken uns dabei auf den Fall eines diskreten Spektrums. Für kontinuierliche Spektren sind die verallgemeinerten Eigenvektoren und die Summen durch die entsprechenden Integrale zu ersetzen.

Die Spur eines Operators ist nun aber unabhängig vom gewählten vollständigen Orthogonalsystem immer durch die Summe der Diagonalelemente des entsprechenden Operators gegeben. Mögen dazu $\ket{\phi_k}$ und $\ket{\psi_k}$ zwei beliebige vollständige Orthonormalsysteme bilden. Dann ist für einen Operator $\op{A}$

$$\begin{split}\sum_{k=1}^{\infty} \matrixe{\psi_k}{\op{A}}{\ps... ...um_{l=1}^{\infty} \matrixe{\phi_l}{\op{A}}{\phi_l}. \end{split}$$ (1.139)

Wir kommen nun zu der Frage, wie im Rahmen der Quantentheorie Zufallsexperimente im Sinne der im Abschnitt 1 besprochenen mathematischen Statistik zu formalisieren sind.

Es ist klar, daß der Fall, daß das System in einem reinen Zustand $[\ket{\psi}]$ präpariert wurde, wie er in (Q1) postuliert wurde, unter dieses allgemeinere Schema fällt. Es ist der statistische Operator dann durch

$$\op{R} = \ketbra{\psi}{\psi}$$ (1.140)

gegeben.

Ein Zufallsexperiment an einem Quantensystem ist stets die Messung einer oder die simultane Messung mehrerer Observabler. Das ergibt nur dann einen Sinn, wenn im letzteren Falle die Observablen miteinander verträglich sind. Im maximalen Falle, kann ein vollständiger Satz miteinander kompatibler Observabler gemessen werden.

Jetzt sind wir in der Lage, Zufallsexperimente an Quantensystemen eindeutig zu formalisieren: Die Ergebnismenge $\Omega$ für dieses Zufallsexperiment sind die möglichen Meßwerte der Observablen $O$ , also die Werte im Spektrum des dazugehörigen selbstadjungierten Operators $\op{O}$ : $\Omega=$Spec$(\op{O}) \subseteq \R$ . Im folgenden gehen wir der Einfachheit von einem diskreten Spektrum aus. Die Verallgemeinerung auf kontinuierliche Spektren ist wieder in der üblichen Weise zu vollziehen.

Die Ereignisalgebra ist dann die Potenzmenge $E=\mathcal{P} \Omega$ .

Jetzt müssen wir nur die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse bestimmen. Ist das Ensemble wie oben beschrieben in dem durch $\op{R}$ beschriebenen Gemisch präpariert, dann ist nach (1.136) die Wahrscheinlichkeit, ein aus ihm herausgegriffenes System im Zustand $[\ket{(o_j),k}]$ anzutreffen $\matrixe{(o_j),k}{\op{R}}{(o_j),k}$ . Dabei werden die den Eigenraum Eig$[(\op{O_j}),(o_j)]$ aufspannenden simultanen Eigenvektoren $\ket{(o_j),k}$ der Operatoren $(\op{O_j})$ orthonormiert gewählt. Dann schließen sich die Ereignisse $\{(o_j)\}$ nämlich gegenseitig aus, und es gilt für die Wahrscheinlichkeit, die simultanen Eigenwerte $(o_j)$ zu messen:

$$p[(o_j)]=\sum_{k} \matrixe{(o_j),k}{\op{R}}{(o_j),k}.$$ (1.141)

Das läßt sich mit Hilfe des Projektors

$$\op{P}[(o_j)]=\sum_k \ketbra{(o_j),k}{(o_j),k}$$ (1.142)

auf den Eigenraum Eig$[(\op{O}_j),(o_j)]$ in der Form

$$p[(o_j)] = \Tr (\op{R} \op{P}[(o_j)])$$ (1.143)

schreiben.

Der Projektor $\op{P}(o_j)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis des Eigenraums. Sei nämlich $\ket{(o_j)',k'}$ eine andere Basis, dann gilt

$$\begin{split}\sum_{k'} \ketbra{(o_j)',k'}{(o_j)',k'} &= \sum_... ..._1} \ketbra{(o_j),k_1}{(o_j),k_1} := \op{P}[(o_j)]. \end{split}$$ (1.144)

Dabei haben wir in der ersten Zeile beim Einschieben der Zerlegung der $1$ durch das VONS $\{\ket{(o_j),k} \}_{(o_j),k}$ ausgenutzt, daß die Eigenräume zu verschiedenen simultanen Eigenwerten $(o_j)$ orthogonal aufeinander stehen. Das gleiche wurde beim Übergang zur zweiten Zeile beachtet, wo für den einen Eigenraum die neue Basis statt der alten benutzt wurde.

Schließlich müssen wir noch zeigen, daß das sichere Ereignis $\Omega$ die Wahrscheinlichkeit $1$ besitzt:

$$\begin{split}& \sum_{(o_j)} \op{P}[(o_j)] =1 \Rightarrow &... ...si_k}{n} \braket{n}{\psi_k} = \sum_{k} \lambda_k=1. \end{split}$$ (1.145)

Aus der Definition (1.134) des statistischen Operators und (1.91) geht unmittelbar hervor, daß der statistische Operator kovariant konstant ist, also

$$\dot{\op{R}}=\frac{1}{\ii} \comm{\op{R}}{\op{H}}+\partial_t \op{R}=0$$ (1.146)

ist. Die mathematische Zeitentwicklung ist gemäß (1.102) durch die unitäre Ähnlichkeitstransformation

$$\op{R}(t)=\op{C}(t,t_0) \op{R}(t_0) \op{C}^{\dagger}(t,t_0)$$ (1.147)

gegeben.

Aus (1.146) läßt sich unmittelbar die wichtige Folgerung ablesen, daß der statistische Operator genau dann nicht explizit von der Zeit abhängt, wenn er eine Funktion der Erhaltungsgrößen des Systems ist, also mit dem Hamiltonoperator $\op{H}$ kommutiert. Ein solcher Operator beschreibt ein statistisch statisches System. Man sagt auch, solch ein System befinde sich im Gleichgewicht. Wir werden unten sehen, daß sich daraus die vollständige Gleichgewichtsthermodynamik ableiten läßt.

Zusammenfassend haben wir also folgende Beschreibung von quantenstatistischen Ensembles (Gemischen) gefunden

(S1)

Ein Ensemble von voneinander unabhängigen gleich präparierten Quantensystemen (Gemisch) wird durch einen statistischen Operator $\op{R}$ beschrieben.

(S2)

Der statistische Operator ist selbstadjungiert und positiv semidefinit mit $\Tr \op{R}=1$ .

(S3)

Ein Zufallsexperiment an dem System ist durch die Messung einer oder mehrerer kompatibler Observabler $(O_i)$ definiert. Die Wahrscheinlichkeit, die simultanen Eigenwerte $(o_i)$ zu messen, ist $p[(o_i)]=\Tr\{\op{P}[(o_1)] \op{R}$ .

(S4)

Der Erwartungswert einer beliebigen Observablen $\op{O}$ ist $\erw{O}=\Tr (\op{O} \op{R})$ .