Das ideale Fermigas

Wie oben bereits bemerkt, ist im Falle von Fermionen die Summe (3.32) für $\alpha \in \R$ und $\beta \in \R_{>0}$ wohldefiniert. wir können ohne größere Schwierigkeiten zum Grenzfall eines unendlich großen Quantisierungsvolumens übergehen. Für große, jedoch endliche $L$ , haben wir sehr viele Einteilchenimpulseigenwerte in einem kleinen Volumenelement $\d^3 \vec{p}$ im Impulsraum:

$$\vec{p}(\vec{n}) = \frac{2 \pi}{L} \vec{n}, \; \vec{n} \in \Z^3, ... ... \d p_i \Rightarrow D(\vec{p}) \d^3 \vec{p} = \frac{V}{(2 \pi)^3} \d^3 \vec{p},$$ (3.33)

wo $D(\vec{p}$ die Dichte der Einteilchenq uantenzustände im Volumenelement um den Impuls $\vec{p}$ ist.

Im Grenzfall eines sehr großen Quantisierungsvolumens können wir daher die Summe in (3.32) durch ein Integral

$$\Omega = g \int \d^3 \vec{p} \frac{V}{(2 \pi)^3} \ln \left [ 1+\exp \left (-\beta \frac{\vec{p}^2}{2m}-\alpha \right ) \right ]$$ (3.34)

ersetzen. Durch Einführung sphärischer Koordinaten erhalten wir

$$\Omega = \frac{g V}{2 \pi^2} \int_0^{\infty} \d p p^2 \ln \left [1+\exp \left ( -\beta \frac{p^2}{2m} - \alpha \right ) \right ].$$ (3.35)

Dieses Integral kann nicht geschlossen ausgewertet werden. Wir wollen daher eine Reihenentwicklung angeben und verschiedene Näherungen betrachten. Zunächst können wir uns des Logarithmus' entledigen, indem wir (3.35) partiell integrieren:

$$\Omega=\frac{g V\beta}{6 \pi^2 m} \int_0^{\infty} \d p \frac{p^4}{1+\exp \left (\beta \frac{p^2}{2m}+\alpha \right)}.$$ (3.36)

Für $\alpha>0$ können wir den Integranden ohne weitere Probleme entwickeln:

$$\begin{split}\Omega &= \frac{g V\beta}{6 \pi^2 m} \sum_{k=0}^... ...a(k+1)]}{(1+k)^{5/2}} \text{ f\uml {u}r } \alpha>0. \end{split}$$ (3.37)

Für $\alpha<0$ müssen wir den Integrationsbereich in einen Teil $p^2 <-2 m \alpha$ und den Rest umwandeln, was auf sehr komplizierte Integrale führt. Wir wollen dies nicht näher ausführen und uns mit den folgenden Näherungen begnügen.