Der klassische Limes

Die wichtigste Quanteneigenschaft des Fermigases ist durch Paulis Ausschließungsprinzip bedingt: Es verbietet, daß zwei Teilchen den gleichen Einteilchenzustand besetzen. Daraus folgt, daß das Gas klassisches Verhalten zeigen sollte, wenn im Mittel nur wenig Teilchen in ein Volumenelement des Phasenraums fallen, d.h. für kleine Dichten und kleine $\beta$ , also hohe Temperaturen.

Formal erhalten wir den klassischen Limes für $\exp \alpha \gg 1$ . Dann genügt es in (3.37) nur das Reihenglied mit $k=0$ mitzunehmen:

$$\Omega = g V \left ( \frac{m}{2 \pi \beta} \right)^{3/2} \exp(-\alpha).$$ (3.38)

Daraus ergibt sich die mittlere Teilchenzahl und die mittlere Energie durch Ableiten nach den dazugehörigen Lagrangeparametern:

$$\mathscr{N} = -\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha} = g V \lef... ...}{2} \left ( \frac{m}{2 \pi \beta} \right)^{3/2} \frac{1}{\beta} \exp(-\alpha).$$ (3.39)

Die erste Gleichung zeigt, daß unsere Betrachtungen nur für den Limes niedriger Dichten gilt, denn es ist nach Voraussetzung $\exp(-\alpha) \ll 1$ .

Kombinieren wir beide Gleichungen (3.39) folgt die klassische kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases:

$$\mathscr{E} = \frac{3}{2} \frac{\mathscr{N}}{\beta}.$$ (3.40)

Wegen (2.29) sind die statistischen Größen $\alpha$ und $\beta$ mit den thermodynamischen Größen durch

$$T=\frac{1}{\beta}, \; \alpha=-\mu \beta$$ (3.41)

verknüpft, wobei $T$ die Temperatur, gemessen in Energieeinheiten, und $\mu$ das chemische Potential des Gases sind.

Aus (2.22) erhalten wir für die Entropie des idealen Gases

$$S=\Omega + \beta \mathscr{E} + \alpha \mathscr{N}.$$ (3.42)

Wegen (2.23) sind die natürlichen unabhängigen Zustandsgrößen für die Entropie $\mathscr{E}$ , $\mathscr{N}$ and $V$ . Ersetzen wir also die übrigen thermodynamischen Größen vermöge (3.39) durch diese, erhalten wir die Sackur-Tetrode-Formel für die Entropie eines klassischen idealen Gases:

$$S=\frac{5}{2} \mathscr{N} + \mathscr{N} \ln \left [ \frac{g V}{\mathscr{N}} \left ( \frac{m \mathscr{E}}{3 \pi \mathscr{N}} \right)^{3/2} \right].$$ (3.43)

Daraus folgt aus (2.29) bzw. (2.30)

$$p=\frac{1}{\beta} \left ( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_{... ...}{\partial V} \right)_{\alpha,\beta=\text{const.}}=\frac{\mathscr{N}}{V \beta},$$ (3.44)

was vermöge

$$pV=\mathscr{N}T$$ (3.45)

in die übliche Form der Zustandsgleichung des idealen Gases übergeht.