Erinnerung an die Quantentheorie

Wir setzen voraus, daß der Leser mit der Quantentheorie, formuliert im Diracschen ,,Bra-Ket-Formalismus'' vertraut ist. Meine ausführliche Zusammenfassung dieser Grundlagen findet sich auf meiner Webpage [Hee98]. Von der zahlreichen Lehrbuchliteratur seien nur die folgenden beiden zitiert: [Fic79,Bal98]. Hier wollen wir lediglich die Notation etablieren und den Rahmen zur Behandlung der Quantenstatistik bereitstellen.

Wir stellen in diesem Abschnitt die Grundlagen der Quantentheorie zusammen, und zwar zunächst ohne auf die Quantenstatistik einzugehen. Die Quantentheorie in diesem Sinne behandelt nur die Frage, wie ein System überhaupt quantentheoretisch beschrieben wird (analog zur Kinematik für ein klassisches mechanisches System) und wie bei vollständiger Kenntnis des Anfangszustandes die zeitliche Entwicklung der Größen berechnet werden kann (analog zur Dynamik in der klassischen Mechanik, die z.B. durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen für Punktteilchen bestimmt ist).

(Q1)

Der Zustand eines Quantensystems wird durch den Strahl in einem Hilbertraum $\mathscr{H}$ vollständig beschrieben. Ein Strahl ist dabei für $0 \neq \ket{\psi} \in \mathscr{H}$ durch die folgende Äquivalenzklasse von Vektoren definiert:

$$[\ket{\psi}]= \{ c \ket{\psi} \vert \ket{\psi} \in \mathscr{H}, c \in \mathbb{C} \setminus \{0 \} \}.$$ (1.79)

(Q2)

Jeder Observablen $O$ des Systems wird ein selbstadjungierter Operator $\op{O}:\mathscr{D} \rightarrow \mathscr{D}$ , welcher zumindest auf einem dichten Teilraume $\mathscr{D} \subseteq \mathscr{H}$ definiert ist, zugeordnet.

Das Resultat einer exakten Messung der Observablen $O$ ist notwendig ein Eigenwert des entsprechenden Operators $\op{O}$ .

Es sei weiter Eig$(\op{O},o)$ der Eigenraum zum Eigenwert $o$ und

$$\op{P}(o)=\sum_{k} \ketbra{\op{O},o,k}{\op{O},o,k}$$ (1.80)

der Projektionsoperator auf diesen Eigenraum. Dabei sind die $\ket{\op{O},o,k}$ eine beliebige orthonormierte Basis des Eigenraums. Dann ist

$$p(o)=\matrixe{\psi}{\op{P}(o)}{\psi}=\sum_k \vert\braket{\psi}{\op{O},o,k}\vert^2 \braket{\psi}{\psi}=1$$ (1.81)

die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Messung der Observablen $O$ den Meßwert $o$ zu erhalten.

Zwei Observablen $O_1$ und $O_2$ heißen kompatibel, wenn die sie repräsentierenden selbstadjungierten Operatoren kommutieren.

Ein Menge $\{\op{O}_j \}_{j \in \{1,\ldots,n \}}$ von kompatiblen Observablen heißt vollständiger Satz kompatibler Observabler, wenn deren simultaner Eigenraum Eig$[(\op{O}_j),(o_j)]$ eindimensional ist.

Bemerkungen:

Anstatt mit den praktisch etwas unbequemen Strahlen zu operieren, können wir auch den Projektionsoperator

$$\op{P}_{\ket{\psi}}=\frac{\ketbra{\psi}{\psi}}{\Vert\psi \Vert^{2}}$$ (1.82)

zur Zustandsfestlegung verwenden. Er ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten im Strahl $[\ket{\psi}]$ und definiert umgekehrt eindeutig den Strahl, denn $\ket{\psi}$ ist offensichtlich sein einziger Eigenvektor zum Eigenwert $1$ . Solche Zustände eines Systems bezeichnen wir genauer auch als reine Zustände.

Hier muß betont werden, daß die statistischen Aussagen, die durch dieses Postulat getroffen werden, nicht notwendig sind, weil wir den genauen Zustand des Systems nicht kennen. Wir setzen ja gerade voraus, daß sich das System in dem Zustand $[\ket{\psi_1}]$ befindet und daß die Zuordnung dieses Strahls im Hilbertraum die vollständige Festlegung des Systemzustandes bedeutet. Vielmehr spiegeln diese Wahrscheinlichkeitsaussagen den prinzipiellen Indeterminismus, der durch die Quantentheorie gerade beschrieben werden soll, wieder. Es kann zwar sein, daß, obwohl man den Zustand $[\ket{\psi}]$ des Systems mit Sicherheit kennt, die Frage, welchen Wert die Messung einer Observablen $O$ liefert, nicht mit Sicherheit beantwortet werden kann. Der Meßwert ist gemäß Postulat (Q2) nur dann determiniert, wenn $\ket{\psi}$ ein Eigenvektor des dieser Observablen zugeordneten selbstadjungierten Operators $\op{O}$ ist, und der Meßwert ist dann mit Sicherheit der dazugehörige Eigenwert.

Die Quantentheorie macht dann jedoch immerhin die statistische Aussage, daß (1.81) die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, bei der Messung der Observablen $O$ gerade den Eigenwert $o$ des dazugehörigen Operators $\op{O}$ zu finden. (Q2) sagt darüber hinaus aus, daß eine Observable gar keine anderen Werte als diese Eigenwerte annehmen kann.

Wir müssen nun noch kurz rekapitulieren, daß (Q2) eine mit den Kolmogorovschen Axiomen verträgliche Definition von Wahrscheinlichkeiten für das ,,Zufallsexperiment'' der Messung der Observablen $O$ liefert. Zunächst ist klar, daß in dem gegebenen Falle die Ergebnismenge durch $\Omega=\{o\vert\text{$o$ ist Eigenwert von $\op{O}$}\}$ gegeben ist. Die Ereignisalgebra ist die Potenzmenge von $\Omega$ , d.h. $E=\mathcal{P} \Omega$ . Weiter müssen sich die Ergebnisse gegenseitig ausschließen. Dies ist jedoch der Fall, denn vorausgesetzt, das System sei in einem Zustand präpariert, in dem mit Sicherheit der bei der Messung von $O$ der Meßwert $o$ ist, befindet sich wegen (Q2) das System in einem Eigenzustand $\ket{o}$ des Operators $\op{O}$ zum Eigenwert $o$ . Nun stehen alle Eigenvektoren zu einem von $o$ verschiedenen Eigenwert $o'$ aufeinander senkrecht, denn es gilt:

$$\matrixe{o'}{\op{O}}{o}=o \braket{o'}{o} = \braket{\op{O} o'}{o}=o' \braket{o'}{o} \Rightarrow (o-o') \braket{o'}{o}=0.$$ (1.83)

Daraus folgt, daß für $o \neq o'$ die Eigenvektoren wie behauptet aufeinander senkrecht stehen. Daraus folgt unmittelbar, daß $\op{P}[$Eig$(\op{O},o)]\ket{o'}=0$ und folglich gemäß (1.81) die Wahscheinlichkeit, daß $o'$ gemessen wird, verschwindet.

Weiter bilden die Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum, so daß gemäß (Q2) auch

$$p(\Omega)=\sum_{o} p(o)=\braket{\psi}{\psi}=1$$ (1.84)

gilt. Somit sind die Kolmogorovschen Axiome erfüllt.

Es bleibt zu bemerken, daß der Hilbertraum für reale Systeme (z.B. Teilchen) i.a. unendlichdimensional ist und selbstadjungierte Operatoren auch ein kontinuierliches Spektrum oder kontinuierliche Anteile im Spektrum haben können. Dann sind die obigen Axiome im Sinne der Spektraltheorie um verallgemeinerte Eigenvektoren, welche im Rahmen der Distributionentheorie strikt begründet werden können, zu verallgemeinern. Wir setzen voraus, daß für Werte im kontinuierlichen Spektrum verallgemeinerte Eigenvektoren existieren, die ,,auf die $\delta$ -distribution'' normiert werden können:

$$\braket{o}{o'}=\delta(o-o').$$ (1.85)

Die Vollständigkeitsrelation kann dann in der Gestalt

$$\sum_{o,k} \ketbra{\op{O},o,k}{\op{O},o,k} + \int_{E} \d o \ketbra{o}{o}= 1$$ (1.86)

wobei die $o$ in der Summe die Werte im diskreten Spektrum on $\op{O}$ und die $k$ die zueinander orthogonal gewählten normierten Basisvektoren des zugehörigen Eigenraums durchlaufen. $E$ ist die Teilmenge der reellen Zahlen, die das kontinuierliche Spektrum durchlaufen.

Ist nun $o$ im kontinuierlichen Spektrum, so ist

$$p(o)=\vert\braket{o}{\psi}\vert^2$$ (1.87)

für einen auf $1$ normierten Vektor $\ket{\psi}$ die Wahrscheinlichkeitsverteilung (im Sinne der in Abschnitt 1.2 erklärten Theorie der Zufallsgrößen) für das Meßresultat $o$ bei der Messung der Observablen $O$ . Man macht sich schnell klar, daß zusammen mit (1.85) der in Abschnitt 1.2 entwickelte Formalismus der Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen allgemein anwendbar gültig ist.

Eine der wohl berühmtesten Folgerungen aus dem Formalismus der Quantentheorie sind wohl Heisenbergs Unschärferelationen:

$$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \left \vert \erw{\comm{\op{A}}{\op{B}}} \right \vert.$$ (1.88)

$\Delta O$ bezeichnet dabei die Varianz einer Observablen $O$ . Die Unschärferelation lehrt uns, daß zwei Observablen unabhängig vom Systemzustand nur dann simultan scharfe Werte annehmen können, wenn die entsprechenden Operatoren vertauschen.

Der Erwartungswert einer Observablen für ein System, welches im Zustand $\ket{\psi}$ präpriert ist, ist $\matrixe{\psi}{\op{O}}{\psi}$ . Daß diese Vorschrift verträglich mit dem Postulat (Q2) ist, resultiert aus der Anwendung der Vollständigkeitsrelation (1.86):

$$\matrixe{\psi}{\op{O}}{\psi}=\int \d o \matrixe{\psi}{\op{O}}{o} \braket{o}{\psi} = \int \d o o \left \vert\braket{\psi}{o} \right\vert^2.$$ (1.89)

Dabei sind wir der Kürze der Schreibweise wegen von einem rein kontinuierlichen Spektrum ausgegangen. Dies zeigt, daß in der Tat der Erwartungswert wie in (1.20) definiert ist, denn $\vert\braket{\psi}{o}\vert^2$ ist ja gemäß der obigen Erörterungen die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, daß eine Messung der Observablen $O$ an dem System, welches im Zustand $[\ket{\psi}]$ präpariert ist, das Meßresultat $o$ ergibt.

Schließlich kommen wir zur Dynamik quantenmechanischer Zustände und Operatoren.

(Q3)

Die Zeit ist im Rahmen der Quantentheorie ein reeller Parameter. Weiter nehmen wir an, daß es einen selbstadjungierten Operator $\op{H}$ gibt, so daß der Zeitableitung einer Observablen $O$ der Operator

$$\dot{\op{O}}=\frac{1}{\i} \comm{\op{O}}{\op{H}} + \partial_{t} \op{O}$$ (1.90)

zugeordnet wird. Die partielle Zeitableitung $\partial_t$ trägt einer eventuellen expliziten Zeitabhängigkeit des Operators $\op{O}$ Rechnung.

(Q4)

Ist $\ket{\psi,t}$ der Zustand des Systems zur Zeit $t$ , so gilt

$$\dot{\op{P}}_{\ket{\psi,t}} = 0, \op{P}_{\ket{\psi,t}}=\ketbra{\psi}{\psi}, \quad \braket{\psi}{\psi}=1.$$ (1.91)

Bemerkungen: Die Operatoren, die den grundlegenden dynamischen Observablen des Systems, wie Orts- und Impulsoperatoren, besitzen keine explizite Zeitabhängigkeit. Weiter ist es wichtig zu bemerken, daß $\dot{\op{O}}$ nicht mit der totalen (mathematischen) Zeitableitung $\d \op{O}/dt$ des Operators verwechselt werden darf. Beide Operationen sind nur im Heisenbergbild der Zeitentwicklung identisch. Wir kommen auf verschiedene Bilder der Zeitentwicklung gleich noch zurück, denn wie man die Zeitabhängigkeiten auf Operatoren und Zustände verteilt, ist weitgehend willkürlich und wird je nach Anwendungsfall geschickt festgelegt. Die physikalischen Aussagen der Theorie sind von dieser Wahl des Bildes natürlich unabhängig. Die Freiheit der Bildwahl ist dadurch begründet, daß alle physikalischen Vorhersagen invariant unter zeitabhängigen unitären Transformationen, sog. Bildtransformationen von Operatoren und Zuständen sind. Man kann daher $\dot{\op{O}}$ als bzgl. Bildtransformationen kovariante Zeitableitung auffassen.

Wie wir unten noch sehen werden, bedeutet (Q4), daß die Quantentheorie eine kausale Theorie ist, d.h. ist der Zustand zur Zeit $t_0$ und der Hamiltonoperator bekannt, ist der Zustand zu jeder späteren Zeit determiniert. Das bedeutet, daß wenn $\ket{\psi,t}$ und $\ket{\phi,t}$ zwei Zustände sind, die sich zeitlich gemäß der Dynamik des Systems bewegen, die Wahrscheinlichkeitsamplituden $\braket{\psi,t}{\phi,t}=$const sind.