Kraft auf eine andere Leiterschleife

Zunächst berechnen wir die Kraft auf eine andere fadenförmige Stromverteilung $ \pvec{j}$. Der Einfachheit halber nehmen wir dabei an, daß die Leitungen sich nicht kreuzen und nicht eine Leiterschleife einen Punkt der anderen Leiterschleife im Inneren enthält. Andernfalls wird das Problem schon kniffliger!

Die Kraft, die von der Leiterschleife $ \mathscr{C}$ auf die Leiterschleife $ \mathscr{C}'$ ausgeübt wird, ist nach dem Lorentzschen Kraftgesetz (welches sich übrigens mit Hilfe des Noethertheorems aus ,,first principles`` und der Lagrangedichte der Elektrodynamik herleiten läßt!):

$\displaystyle \vec{F}= \frac{1}{c}\int \dd^3 \vec{x} \pvec{j}(\vec{x}) \times \vec{B}(\vec{x}).$ (9)

Setzt man hierin (6) für die Stromschleife $ \mathscr{C}'$ und (8) für $ \vec{B}$ ein und führt das Integral über $ \vec{x}$ aus, findet man

$\displaystyle \vec{F}=\frac{I I'}{c^2} \oint_{\mathscr{C}'} \oint_{\mathscr{C}}...
...\vec{s} \times \frac{\pvec{s}-\vec{s}}{\Vert\pvec{s}-\vec{s} \Vert^3} \right ).$ (10)

Führt man das doppelte Vektorprodukt aus und beachtet, daß sich die Leiterschleifen nicht durchdringen, also das geschlossene Wegintegral über einen Gradienten verschwindet, findet man schließlich die symmetrische Form

$\displaystyle \vec{F}=-\frac{I I'}{c^2} \oint_{\mathscr{C}'} \oint_{\mathscr{C}...
...vec{s} \left ( \frac{\pvec{s}-\vec{s}}{\Vert\pvec{s}-\vec{s} \Vert^3} \right ).$ (11)

Das ist die gesuchte Formel für die Kraft.

Hieraus liest man ab, daß die Kraft unter Vertauschung der Stromschleifen das Vorzeichen wechselt. Das muß wegen Newtons drittem Gesetz (,,actio est reactio``) auch so sein: Die Kraft, die $ \mathscr{C}$ auf $ \mathscr{C}'$ ausübt ist entgegengesetzt gleich der Kraft, die $ \mathscr{C}'$ auf $ \mathscr{C}$ ausübt.