Grundlagen aus der Quantentheorie

Im folgenden benötigen wir nur einen minimalen Teil der Quantenmechanik, insbesondere aber die Postulate der Messung an einem quantenmechanischen System.

Ein quantenmechanisches System wird durch eine Observablenalgebra, die als Darstellung durch hermitesche Operatoren auf einem Hilbertraum $\mathscr{H}$ realisiert wird, definiert.

Der Zustand eines Systems wird eindeutig und vollständig durch einen komplexen Strahl im Hilbertraum charakterisiert:

$$\forall \ket{\psi} \in \mathscr{H}: \; [\ket{\psi}] = \{ c \ket{\psi} \vert c \in\C_{\neq 0} \}.$$ (1)

Die exakte Messung einer Observablen $O$, die durch den hermiteschen Opertor $\op{O}$ repräsentiert wird, liefert stets einen Wert aus dem Spektrum dieses Operators, also einen Eigenwert oder einen ``verallgemeinerten Eigenwert''. Dabei geht das System in einen (verallgemeinerten) Eigenzustand zu dem gemessenen Spektralwert über.

Befand sich das System vor der Messung in dem Zustand $[\ket{\psi}]$, befindet es sich nach der Messung der Observablen $O$ mit dem Resultat $o$ in dem Zustand

$$\left [ \int_{r \in I} \d r S(p,r) \ket{o,r}\braket{o,r}{\psi}\right] := [\op{P}_o \ket{\psi}],$$ (2)

wobei $S(o,r)$ die charakteristische verallgemeinerte Funktion des Spektrums ist und $\{\ket{o,r} \}_{r \in I}$ ein Orthonormalsystem des Eigenraums von $\op{O}$ zum Spektralwert $o$ ist. $I$ bezeichnet eine geeignete Indexmenge.

Aus diesem Postulat folgt übrigens, daß eine vollständige Festlegung des Zustandes i.a. die Messung mehrerer Observablen erfordert, die so beschaffen sein müssen, daß ihre Operatoren paarweise vertauschen und folglich simultane verallgemeinerte Eigenräume besitzen. Eine Messung legt genau dann den Zustand des Systems vollständig fest, wenn die simultanen Eigenräume der gemessenen verträglichen Observablen in jedem Fall eindimensional sind. Wir bezeichnen einen solchen Satz von Observablen als vollständigen Satz kompatibler Observabler und eine Messung eines solchen als vollständige Messung. Wir bezeichnen weiter eine Observable als verträglich mit einem gegebenen Zustand, wenn dieser (verallgemeinerter) Eigenvektor des der Observablen zugeordneten Operators ist. Nach (2) ist dann das Resultat sicher der zu diesem (verallgemeinerten) Eigenvektor gehörige Spektralwert und das System verbleibt in dem gegebenen Zustand.

Die Messung einer mit dem gegebenen Zustand nicht verträglichen Observablen ergibt auch stets einen Spektralwert, aber dieser liegt vor der Messung nicht fest. Die postulierte Vollständigkeit der Bestimmung des Zustandes des Systems bedeutet, daß die durch die Observable bestimmte physikalische Eigenschaft dem System aufgrund seiner Präparation in dem gegebenen Zustand nicht zukommt. Erst die Messung der Observablen weist dem System die durch diese Observable beschriebene physikalische Eigenschaft zu. Nach (2) geht es dabei in einen wohldefinierten zu dem gemessenen Wert der Observablen gehörigen (verallgemeinerten) Eigenzustand der gemessenen Observablen über, und verliert dadurch die Eigenschaften, die durch die vor der Messung durch Bestimmung der Werte eines vollständigen Satzes kompatibler Observable dem System zugeordnet wurden.

Diesen Abschnitt zusammenfassend können wir festhalten, daß ein Meßapparat, der die Frage zu entscheiden gestattet, ob sich ein System in dem Zustand $[\ket{\psi}]$ befindet, durch den Projektor $\op{P_{\ket{\psi}}}$ dargestellt wird. Wegen $\op{P_{\ket{\psi}}}^2=\op{P_{\ket{\psi}}}$ (wobei wieder die Normierung des Zustandes $\ket{\psi}$ auf $1$ vorausgesetzt wurde, besitzt dieser die Eigenwerte 0 und $1$, und $\ket{\psi}$ ist der einzige Eigenvektor mit Eigenwert $1$, während jeder dazu orthogonale Vektor Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist. Es lassen sich jedoch Wahrscheinlichkeitsaussagen bzgl. der Messung beliebiger Observablen treffen: Befindet sich das System vor der Messung im Zustand $\ket{\psi}$, so ist die Wahrscheinlichkeit (im Falle, daß der gemessene Spektralwert im diskreten Teil des Spektrums liegt, also ein echter Eigenwert ist) bzw. die Wahrscheinlichekeitsdichte (im Falle, daß der Spektralwert im kontinuierlichen Teil des Spektrums liegt) dafür, daß es sich nach der Messung der Observablen im Zustand $\ket{o,r}$ befindet:

$$P(o,r)=\vert\braket{\psi}{o,r}\vert^2,$$ (3)

wobei wir voraussetzen, daß die den Zustand repräsentierenden (verallgemeinerten Zustände) in der üblichen Weise normiert sind (also auf $1$ für Hilbertraumvektoren und auf $\delta$-Funktionen für verallgemeinerte Eigenvektoren).

Diesen Abschnitt zusammenfassend können wir festhalten, daß ein Meßapparat, der die Frage zu entscheiden gestattet, ob sich ein System in dem Zustand $[\ket{\psi}]$ befindet, die durch den Projektor $\op{O}_{\ket{\psi}}$ repräsentierte Observable mißt. Wegen $\op{O}_{\ket{\psi}}^2=\op{O}_{\ket{\psi}}$ (wobei wieder die Normierung des Zustandes $\ket{\psi}$ auf $1$ vorausgesetzt wurde, besitzt dieser die Eigenwerte 0 und $1$, und $\ket{\psi}$ ist der einzige Eigenvektor mit Eigenwert $1$, während jeder dazu orthogonale Vektor Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist. Wir werden sehen, daß das Zeilingerexperiment einen hochpräzisen Test dieser grundlegenden Postulate des Meßprozesses gestattet, und zwar in einem Kontext, der eng mit dem berühmten Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (EPR-Paradoxon) verknüpft ist.