Theorie des Zeilingerexperiments

Wie im experimentellen Teil dieser FAQ erklärt wurde, können antisymmetrisch verschränkte Zweiphotonenzustände der Form

$$\ket{\psi^{-}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{HV-VH}$$ (4)

erzeugt werden, und es existieren Meßverfahren, die feststellen, ob sich zwei Photonen in einem solchen Zustand befinden.

In der obigen Gleichung haben wir nur den Polarisationsanteil der Photonenzustände notiert, und $\ket{H}$ bezeichnet den Zustand eines horizontal und $\ket{V}$ eines vertikal polarisierten Photons. Ferner verwenden wir die übliche abkürzende Schreibweise für Tensorprodukte von bras und kets, d.h. es bedeutet insbesondere

$$\ket{HV-VH}=\ket{H} \otimes \ket{V} - \ket{V} \otimes \ket{H}.$$ (5)

Es ist weiter klar, daß der Impulsanteil des Zweiphotonenzustandes (4) antisymmetrisiert sein muß, so daß insgesamt ein bosonischer Zustand entsteht, wie es sich für Photonen gehört.

Unter Teleportation verstehen wir die Möglichkeit, den Zustand $\ket{\psi_1}$ eines beliebigen Photons auf ein anderes Photon zu übertragen, ohne das Photon selbst zu ``verschicken''.

Wir wollen zeigen, daß dies gelingt, wenn zwei Photonen in dem antisymmetrisch verschränkten Zustand (4) vorliegen. Der Sender (von Zeilinger Alice genannt) will den Zustand von Photon 1 auf das Photon 3 übertragen, das sich beim Empfänger (Bob) befindet. Photon 3 ist mit Photon 2, das ebenfalls Alice zur Verfügung steht, gemäß (4) verschränkt. Der Spinzustand der drei Photonen ist also durch

$$\ket{\psi_A}=\frac{1}{2} \ket{\psi_1} \otimes \ket{HV-VH} \ket \psi_{1}^{} \alpha \ket \beta \ket$$ (6)

gegeben.

Alice führt nun die Messung aus, die die Frage beantwortet, ob sich Photon 1 mit Photon 2 in dem antisymmetrisch verschränkten Zustand (4) befindet. In dem benutzten Drei-Photonenraum ist der diese Messung repräsentierende Projektor durch

$$\op{O}_T=\frac{1}{2} \ketbra{HV-VH}{HV-VH} \otimes \op{1}$$ (7)

gegeben. Wie wir sehen werden, beantwortet dieser Projektor die Frage, ob eine Teleportation stattgefunden hat, daher der Index $T$.

Es ist klar, daß (7) kein Eigenvektor zu $\ket{\psi_A}$ ist, also die Messung der Verschränktheit von Photon 1 mit Photon 2 nicht kompatibel ist mit dem Anfangszustand, d.h. es läßt sich nicht vorhersagen, ob die Photonen 1 und 2 tatsächlich verschränkt sind.

Wir nehmen nun an, eine Messung hat ergeben, daß sich die Photonen 1 und 2 in dem verschränkten Zustand befinden. Dann wissen wir gemäß (2), daß dann das System in den Zustand

$$\ket{\psi_B}=N \op{P}_T \ket{\psi_A},$$ (8)

übergegangen ist. Dabei ist

$$\op{P}_T=\frac{1}{2} \left [ \ketbra{HV-VH}{HV-VH} \otimes \left (\ketbra{H}{H} + \ketbra{V}{V} \right) \right].$$ (9)

$N$ ist der Normierungsfaktor, der den Zustand $\ket{\psi_B}$ auf $1$ normiert.

Eine einfache Rechnung zeigt dann, daß

$$\ket{\psi_B} = - \frac{N}{2 \sqrt{2}} \ket{HV-VH} \otimes \ket{\psi_1}$$ (10)

ist. Das bedeutet nun in der Tat, daß Alice durch ihre Messung, daß Photon $1$ und Photon $2$ antisymmetrisch verschränkt sind, den Ausgangszustand $\ket{\psi_1}$ des Photons 1 auf das Photon 3 bei Bob übertragen hat. Dabei ist ihr jede Information über den Einteilchenzustand von Photon 1 verloren gegangen, denn $\ket{\psi_B}$ zeigt, daß nach der Messung die Photonen 1 und 2 miteinander verschränkt sind, und dadurch ist diesen Photonen jede Individualität abhanden gekommen. Jede Messung einer Einteilcheneigenschaft an Photon 1 ist zu diesem verschränkten Zustand nicht verträglich.

Ebenso zeigt sich, daß auch die Verschränktheit von Bobs Photon 3 mit dem Photon 2 vollständig verloren gegangen ist, dafür besitzt Bobs Photon 3 aber jetzt mit Sicherheit die Einteilcheneigenschaften (also in unserem Fall die Polarisation), das Photon 1 vor der Teleportation, so können wir ja nun Alices Messung jetzt nennen, besessen hat.

Wie wir gesehen haben, ist Alices Messung nicht mit dem Anfangszustand kompatibel, d.h. sie kann nicht mit Sicherheit voraussagen, ob die Teleportation bei einem einzelnen Versuch, auch tatsächlich stattfindet. Das kann sie eben erst entscheiden, wenn sie die Messung durchgeführt hat, und tatsächlich die Verschränktheit von Photon 1 mit Photon 2 nachgewiesen ist.

Sie kann natürlich gemäß (3) ausrechnen, wie groß ihre Chancen stehen, tatsächlich den Zustand ihres Photons 1 auf Bobs Photon 2 zu übertragen, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, ob eine Teleportation stattfindet:

$$W_T=\vert\braket{\psi_B}{\psi_A}\vert^2 =\vert N\vert^2 \left\vert \braket{\op... ...T \psi_A}{\op{P}_T \psi_A}\right\vert^2 = \frac{1}{\vert N\vert^2}=\frac{1}{4},$$ (11)

d.h. Alice wird durchschnittlich in $1/4$ aller Fälle Erfolg mit ihrer Teleportation haben.