Die Ellipse ist eigentlich ganz einfach

Nun ist es natürlich auch ohne weiteres möglich, das TM einer Ellipsenscheibe mit den Halbachsen a und b und der Dicke h auszurechnen. Es gibt einen einfacheren Weg als der über kartesische Koordinaten und Zylinderkoordinaten. Bei der Verwendung von Zylinderkoordinaten spielt uns die komplizierte Winkelabhängigkeit des Radius einen Streich, weswegen sich Ellipsenkoordinaten² anbieten.

Um einen Vergleich zu geben, hier die Lösungskizze in kartesischen Koordinaten.Wenn man den Mittelpunkt in den Koordinatennullpunkt legt, a in x-Richtung, b in y-Richtung und die Rotationsachse in z-Richtung und sich das alles mal aufmalt, wird offensichtlich das die Integration wie folgt erfolgen muß:

$$\Theta_z=\int_{-a}^{a} dx \int_{-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} dy \int_0^h dz \, (x^2+y^2)$$

Man beachte die Ellipsengleichung $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$und wie sich die Wurzel durch simples Umstellen nach x ergibt. Nach längerer Rechnung und Einsetzen der Scheibenmasse ergibt sich

$$\Theta_z=\frac{1}{4} \rho abh (a^2+b^2)=\frac{1}{4} M (a^2+b^2)$$ (10)

Das gleiche Ergebnis ist in Ellipsenkoordinaten einfacher berechnet. Die Transformationsformeln lauten :
$$\begin{gather*}dV=ab \, r \, dr \, d\phi \, dz \quad \begin{pmatrix}x \\ y \\ ... ...pmatrix}a \, r \, \cos\phi \\ b \, r \, \sin\phi \\ z \end{pmatrix}\end{gather*}$$

$$\begin{align*}\Theta_z&=\rho \int_0^h dz \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 dr \, r(a^... ...s^2\phi + b^2\cos^2\phi) \\ &=\frac{\rho\pi hab}{4} (a^2+b^2) \\ \end{align*}$$
Das wollen wir im folgenden Nutzen um ein Beispiel dafür zu geben, wie man TMe komplizierter Körper manchmal einfach aus dem Zusammensetzen bekannter infinitesimaler TMe berechnen kann.