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Die Ellipse ist eigentlich ganz einfach

Nun ist es natürlich auch ohne weiteres möglich, das TM einer Ellipsenscheibe mit den Halbachsen a und b und der Dicke h auszurechnen. Es gibt einen einfacheren Weg als der über kartesische Koordinaten und Zylinderkoordinaten. Bei der Verwendung von Zylinderkoordinaten spielt uns die komplizierte Winkelabhängigkeit des Radius einen Streich, weswegen sich Ellipsenkoordinaten2 anbieten.

Um einen Vergleich zu geben, hier die Lösungskizze in kartesischen Koordinaten.Wenn man den Mittelpunkt in den Koordinatennullpunkt legt, a in x-Richtung, b in y-Richtung und die Rotationsachse in z-Richtung und sich das alles mal aufmalt, wird offensichtlich das die Integration wie folgt erfolgen muß:

\begin{displaymath}\Theta_z=\int_{-a}^{a} dx
\int_{-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} dy
\int_0^h dz \, (x^2+y^2)
\end{displaymath}

Man beachte die Ellipsengleichung $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$und wie sich die Wurzel durch simples Umstellen nach x ergibt. Nach längerer Rechnung und Einsetzen der Scheibenmasse ergibt sich

 \begin{displaymath}
\Theta_z=\frac{1}{4} \rho abh (a^2+b^2)=\frac{1}{4} M (a^2+b^2)
\end{displaymath} (10)

Das gleiche Ergebnis ist in Ellipsenkoordinaten einfacher berechnet. Die Transformationsformeln lauten :
\begin{gather*}dV=ab \, r \, dr \, d\phi \, dz \quad
\begin{pmatrix}x \\ y \\ ...
...pmatrix}a \, r \, \cos\phi \\ b \, r \, \sin\phi \\ z \end{pmatrix}\end{gather*}

\begin{align*}\Theta_z&=\rho \int_0^h dz \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 dr \, r(a^...
...s^2\phi + b^2\cos^2\phi) \\
&=\frac{\rho\pi hab}{4} (a^2+b^2) \\
\end{align*}
Das wollen wir im folgenden Nutzen um ein Beispiel dafür zu geben, wie man TMe komplizierter Körper manchmal einfach aus dem Zusammensetzen bekannter infinitesimaler TMe berechnen kann.



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