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Der Ellipsenkegel

Man stelle sich einen geraden Kegel vor, der als Grundfläche eine Ellipse hat. Halbachsen A und B und Höhe H. Die Rotationsachse laufe durch die Kegelspitze, die bei (0/0) liege, und sei mit der z-Achse identisch. Der Kegel steht also sozusagen auf dem Kopf.Ich schneide nun den Kegel senkrecht zu der z-Achse in dünne Ellipsenscheiben mit der Dicke dz. Dann resultiert mit 10

\begin{displaymath}d\Theta=\frac{\rho\pi ab}{4} (a^2+b^2) dz
\end{displaymath}

Man muß nun daran denken das die Parameter a und b die Vorgabe für die jeweilige, gerade betrachtete Ellipse darstellen, bei der Summation über diese infinitesimalen TMe aber sich die Halbachsen a und b für die jeweilige kleine Ellipse über den Strahlensatz aus dem A und B berechnen. $\frac{A}{H}z=a$ und $\frac{B}{H}z=b$. Dann muß nun nur noch über diese $d\Theta$ von $0 \dots H$ summiert werden und fertig ist der Kegel.
$\displaystyle d\Theta$ = $\displaystyle \frac{\rho\pi AB}{4H^4}(A^2+B^2) \, z^4 \, dz$  
$\displaystyle \Theta_z$ = $\displaystyle \int_0^H d\Theta = \frac{\rho\pi AB}{20} (A^2+B^2) H$  
  = $\displaystyle \frac{3}{20}M(A^2+B^2)$ (11)



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