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Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Achsen

Man stelle seine Achse als Einheitsvektor $\vec n$ im, und das ist wichtig, selben Koordinatensystem dar wie den TT. Man hat dann $\vec n$ als Spaltenvektor vorliegen. Ich bezeichne mit T das TM bzgl. der geg. Achse und mit $\vec n^T$ den transponierten Vektor. Nun gilt:

 \begin{displaymath}
T=\vec n^T \Theta \vec n .
\end{displaymath} (12)

Das ist relativ einfach zu beweisen. Wie aus dem schon erwähnten Skript zu entnehmen ist gilt für die kinetische Energie Ekineines mit $\vec\omega$ rotierenden Körpers und der selben Bezeichnung: $E_{kin}=1/2 \vec\omega^T \Theta \vec\omega $ . Mit $\vec\omega = \vec n \omega $ ist

\begin{displaymath}E_{kin} =1/2 \vec n^T \omega \Theta \vec n \omega = 1/2 \vec n^T
\omega T \vec n \omega
\end{displaymath}

und damit obige Beziehung 12 offensichtlich.



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