Trägheitstensor eines Kegels

 

Abbildung 1: So sieht der Kegel aus

Mit der Abbildung sollte klar sein, wie der Kegel räumlich orientiert ist. Nun wollen wir streng nach Vorschrift 2 den TT ausrechnen. Zuerst macht man sich am besten Gedanken über die Nebendiagonalelemente. Diese müssen verschwinden, denn alle Schnitte zeigen eine Kreissymmetrie und damit sind die Integrationen über $2\pi$ Null. Also werde ich, um die Notation zu vereinfachen den Tensor als Vektor $\Theta$ behandeln und in 2 nur über die Diagonalelemente integrieren die ich in die einzelnen Vektorzeilen schreibe und in Zylinderkoordinaten umrechne. Ausgangspunkt ist also folgende Gleichung, man beachte das Volumenelement in Zylinderkoordinaten :
$$\begin{align*}\Theta &= \int_0^H dz \: \int_0^{zR/H} r \, dr \: \int_0^{2\pi} d\... ...2}{4}+H^2 \\ \frac{R^2}{4}+H^2 \\ \frac{R^2}{2} \end{pmatrix} \end{align*}$$
Mit der einfachen Erkenntnis das für die Masse $M=1/3 \pi R^2 H$gilt, wird das Ergebnis noch etwas einfacher.

$$\Theta = \frac{3}{20}M\begin{pmatrix}R^2 + 4H^2 \\ R^2 + 4H^2 \\ 2R^2 \end{pmatrix}$$ (13)

Wenn man nun Formel 12 anwendet und bedenkt,das

$$\vec n = \frac{1}{\sqrt{R^2+H^2}}\begin{pmatrix}R\\ 0\\ H \end{pmatrix}$$

folgt mit etwas umformen das Ergebnis :

$$T = \frac{3}{20}M \frac{R^4+6R^2H^2}{R^2+H^2} .$$ (14)

Das ist ein einfaches Ergebnis und erfüllt alle Kriterien eines TM : es ist nur abhängig von der Masse und geometrischen Größen und hat Dimension Masse$\cdot$Länge.