A simple one-der Quader

Das ist zum Anfang ein Beispiel, das gut in normalen kartesischen Koordinaten gelöst werden kann. Der Quader habe die Kantenlängen a in x-,b in y- und c in z-Richtung und liege mit seinem geometrischen Schwerpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems.

Außerdem habe er eine homogene Dichte,womit wir $\rho(x,y,z)$ als konstant wählen können. $\rho(x,y,z)=\rho$.Wir wollen das TM bzgl. der Rotation um die z-Achse ermitteln. Dann wird (1) zu

$$\Theta_z=\rho \int_{-a/2}^{a/2}\!\!dx\int_{-b/2}^{b/2}\!\!dy\int_{-c/2}^{c/2}\!\!dz \, (x^2+y^2)$$

Da das Problem sowohl von der Geometrie, als auch von der Massenverteilung symmetrisch ist, können wir die unteren Integralgrenzen durch 0 ersetzen und das gesamte Integral mit 8multiplizieren.

$$\Theta_z=8\rho \int_{0}^{a/2}\!\!dx\int_{0}^{b/2}\!\!dy\int_{0}^{c/2}\!\!dz \, (x^2+y^2)$$

Man sieht, daß die gesamte Geometrie des Problems in den Integralgrenzen steckt und das Problem beim Bestimmen von TMen die geeignete Wahl von Koordinatensystemen und Begrenzungen ist. Der Wert dieses Integrals ist durch sukzessive Abarbeitung der einzelnen Integrale zu ermitteln.Man beachte die Vertauschbarkeit der Integrationen, da die Grenzen nicht von den Koordinaten abhängen.

$$\Theta_z=8 \rho \int_{0}^{c/2}\!\!dz\int_{0}^{b/2}\!\!dy \, \frac{1}{3}(a/2)^3+(a/2)y^2)$$

Das Ergebnis ist

$$\Theta_z=\rho \frac{abc}{12}(a^2+b^2)$$

Nun kann man noch die Masse $M=\rho abc$ ersetzen und erhält einen handlicheren Ausdruck.

$$\Theta_z=\frac{M}{12}(a^2+b^2)$$

Hieran sieht man,das in dem Endergebnis oft nur die Masse,Kombinationen der Quadrate charakteristischer Längen des Problems senkrecht zur Rotationsachse und ein Vorfaktor auftreten.