Die Kugel-eine runde Sache

An der Kugel kann man einfach sehen, welche Vorteile es bringt, sich ein passendes Koordinatensystem für sein Problem zu wählen.Wir werden hier in Kugelkoordinaten rechnen. Ich gebe nun das Volumenelement dV in Kugelkoordinaten an,Details zu der Herleitung solcher allgemeiner Koordinaten findet man z.B. bei Prof. Soff.

$$dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\phi\,d\theta$$ (3)

Die Kugel liege mit ihrem Mittelpunkt im Nullpunkt,habe den Radius R und homogene Masse M. In Kugelkoordinaten wird wird nun das Volumenintegral $\int_{Kugel}dV(x^2+y^2)$ zu

$$\Theta_z=\rho\int_{0}^{R}\!\!dr\int_{0}^{2\pi}\!\!d\phi\int_{0}^{\pi}\!\!d\theta \, r^2 \sin\theta \, r^2\sin^2\theta$$ (4)

wenn man beachtet,das $x^2+y^2=r^2\sin^2\theta$.Das erhält man einfach aus der Definition von x oder y in Kugelkoordinaten,eingesetzt in x²+y².Für die Berechnung dieses Integrales ist es sinnvoll,die 3. Potenz des $\sin$ als Summe von Sinus mit mehrfachem Argument zu schreiben.

$$\sin^3\theta=\frac{1}{4}(3\sin\theta-\sin3\theta)$$ (5)

Da weder der Radius r noch Winkel $\theta$ von $\phi$ abhängen, zerfällt das 3fach-Integral in ein Produkt von 3 Integralen, wenn man 5 verwendet :

$$\Theta_z=2\pi\rho\int_{0}^{R}\!\!dr \, r^4 \, \int_{0}^{\pi}d\theta \, \frac{1}{4}(3\sin\theta-\sin3\theta)$$ (6)

Dies ist nun relativ trivial elementar auszuwerten und man erhält

$$\Theta_z=\frac{8}{15}\pi\rho R^5$$ (7)

Wenn man nun wieder den bekannten Wert für die Masse einsetzt $M=\frac{4}{3}\pi\rho R^3$ erhält man das schöne Ergebnis $\Theta_z=\frac{2}{5}MR^2$. Um sich den Vorteil der Verwendung von Kugelkoordinaten genauer vor Augen zu führen, gebe ich das auszurechnende Volumenintegral in kartesischen Koordinaten an :

$$\int_{-R}^{R}dx\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\int_{-\sqrt{R^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dz \, (x^2+y^2)$$ (8)

Man kann erahnen, daß die Integration nach x und y nicht mehr ganz so trivial ist wie die Integration nach $\theta$, denn Wurzeln im Integranden zu behandeln ist meiner Erfahrung nach mindestens so angenehm wie eine Wurzelbehandlung beim Onkel Doktor.