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Multilineare Abbildungen

Seien $ V_1,\dots,V_p,W$ Vektorräume über einem gemeinsamen kommutativen Körper $ \mathbb{K}$. Skalare mögen im Folgenden durch Buchstaben des hinteren, Vektoren durch Buchstaben des vorderen Alphabets bezeichnet werden.

Eine Abbildung $ f: V_1\times\ldots\times V_p\to W$ heißt ,,multilinear``, wenn sie in jedem Argument linear ist:

$\displaystyle f(\ldots, x \cdot a_i + y \cdot b_i, \ldots) = x \cdot f(\ldots,a_i,\ldots) + y \cdot f(\ldots, b_i, \ldots)$ (1)

Ist der Bildraum $ W$ der Skalarkörper $ \mathbb{K}$, so heißt $ f$ eine ,,Multilinearform``. Die Menge aller multilinearen Abbildungen $ V_1\times\ldots\times V_p\to W$ bezeichnen wir mit $ \mathcal{L}(V_1,\ldots,V_p;W)$.

Ist $ p=1$, so ist $ f$ eine ,,lineare Abbildung`` oder ein ,,Vektorraum-Homomorphismus``.

Ist insbesondere $ W=\mathbb{K}$, also $ f$ skalarwertig, so heißt $ f$ eine ,,Linearform``. Die Menge $ \mathcal{L}(V;\mathbb{K})$ aller Linearformen $ V \to \mathbb{K}$ nennen wir den zu $ V$ ,,dualen Vektorraum`` $ V^\ast$.

Beispiele:

  1. $ V_1=V_2=\mathbb{R}^3$
    $ f: (a_1, a_2) \mapsto a_1 \times a_2$
    $ \times$-Produkt, ,,bilineare Abbildung``
  2. $ V_2$ beliebig, $ V_1=V_2^\ast$, $ W=\mathbb{K}$
    $ V_2^\ast\times V_2 \to \mathbb{K}$
    $ (a^*, a) \mapsto a^*(a)=<a^*, a>$ ,,kanonische Paarung``
  3. $ V_1=V_2=V$
    $ f: V\times V \to \mathbb{K}$
    ,,Bilinearform``



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