Multilineare Abbildungen

Seien $V_1,\dots,V_p,W$ Vektorräume über einem gemeinsamen kommutativen Körper $\mathbb{K}$. Skalare mögen im Folgenden durch Buchstaben des hinteren, Vektoren durch Buchstaben des vorderen Alphabets bezeichnet werden.

Eine Abbildung $f: V_1\times\ldots\times V_p\to W$ heißt ,,multilinear``, wenn sie in jedem Argument linear ist:

$$f(\ldots, x \cdot a_i + y \cdot b_i, \ldots) = x \cdot f(\ldots,a_i,\ldots) + y \cdot f(\ldots, b_i, \ldots)$$ (1)

Ist der Bildraum $W$ der Skalarkörper $\mathbb{K}$, so heißt $f$ eine ,,Multilinearform``. Die Menge aller multilinearen Abbildungen $V_1\times\ldots\times V_p\to W$ bezeichnen wir mit $\mathcal{L}(V_1,\ldots,V_p;W)$.

Ist $p=1$, so ist $f$ eine ,,lineare Abbildung`` oder ein ,,Vektorraum-Homomorphismus``.

Ist insbesondere $W=\mathbb{K}$, also $f$ skalarwertig, so heißt $f$ eine ,,Linearform``. Die Menge $\mathcal{L}(V;\mathbb{K})$ aller Linearformen $V \to \mathbb{K}$ nennen wir den zu $V$ ,,dualen Vektorraum`` $V^\ast$.

Beispiele:

1. $V_1=V_2=\mathbb{R}^3$
   $f: (a_1, a_2) \mapsto a_1 \times a_2$
   $\times$-Produkt, ,,bilineare Abbildung``
2. $V_2$ beliebig, $V_1=V_2^\ast$, $W=\mathbb{K}$
   $V_2^\ast\times V_2 \to \mathbb{K}$
   $(a^*, a) \mapsto a^*(a)=<a^*, a>$ ,,kanonische Paarung``
3. $V_1=V_2=V$
   $f: V\times V \to \mathbb{K}$
   ,,Bilinearform``