Berechnung des Tensors

Sei $N$ die Anzahl der Teilchen, $m_{\nu}$ die Masse des $\nu$-ten Teilchens, $r_{\nu}$ der Betrag des Ortsvektors des $\nu$-ten Teilchens und $x_{\nu,k}$ die $k$-te Komponente des Ortsvektors des $\nu$-ten Teilchen. Dann lautet der Trägheitstensor des Vielteilchensystems:

$$\Theta_{ij}=\sum_{\nu=1}^N m_{\nu}(r_{\nu}^2\delta_{ij}-x_{\nu,i}x_{\nu,j})$$ (1)

$$\mbox{mit } \delta_{ij}=\Bigg{\{}_{\mbox{0 f\uml {u}r $i \neq j$}}^{\mbox{1 f\uml {u}r $i=j$}}$$

oder in Matrixschreibweise (mit x,y,z als Komponenten der Ortsvektoren):

$$\Theta = \sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \left( \begin{array}{*{3}{... ...& -z_{\nu}y_{\nu} & x_{\nu}^2+y_{\nu}^2 \\ \end{array}\right)$$ (2)

Meist hat man es in der Physik aber nicht mit einzelnen Teilchen zu tun, die an bestimmten Orten sitzen, sondern mit einer kontinuierlichen Massenverteilung. In diesem Fall führt man eine Massendichte $\varrho(\vec{r})$ ein, und die Summe im Trägheitstensor geht über in ein Volumenintegral:

$$\Theta_{ij} = \int_V \varrho(\vec{r}) (r^2 \delta_{ij} - x_i x_j) d^3 r$$ (3)

bzw.

$$\Theta = \int_V \varrho(\vec{r}) \left( \begin{array}{*{3}{c... ...+z^2 & -yz \\ -zx & -zy & x^2+y^2 \\ \end{array}\right) d^3r$$ (4)