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Die Heisenbergsche Unschärferelation

Die Unschärferelation der Quantentheorie folgt aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts im Hilbertraum und der Hermitezität der Operatoren, die Observablen im Rahmen der Quantentheorie repräsentieren (vgl. meinen FAQ-Artikel Grundlagen der Quantentheorie). Für die Bezeichnungen und Grundlagen sei auf diesen Artikel verwiesen.

Es ist für das folgende wichtig, daß sich alle Größen, die wir bei der Herleitung der Unschärferelation zur gleichen Zeit zu nehmen sind, d.h. alle Operatoren und Zustände, mit denen im folgenden manipuliert wird, sind mit dem gleichen Zeitargument versehen, das wir der Übersichtlichkeit halber nicht mitnotieren. Den folgenden Abschnitt können wir dem obengenannten FAQ-Artikel einfach entnehmen.

Seien also $ \op{A}$ und $ \op{B}$ beliebige zu Observablen $ A$ bzw. $ B$ gehörige Operatoren. Dann sei $ \lambda \in \R$. Wegen der positiven Semidefinitheit des Skalarprodukts gilt

$\displaystyle \braket{(\op{A}+\ii \lambda \op{B})\psi}{(\op{A}+\ii \lambda \op{B}) \psi} \geq 0.$ (1)

Wegen der Hermitezität der Operatoren können wir dafür auch schreiben

$\displaystyle \matrixe{\psi}{(\op{A}-\ii \op{B})(\op{A}+\ii \op{B})}{\psi} \geq 0.$ (2)

Ausmultiplizieren des Operatorprodukts gibt dann

$\displaystyle \lambda^2 b^2 +2 c \lambda + a^2 \geq 0$    mit $\displaystyle b^2=\erw{\op{B}^2}_{\psi}, \; c=\frac{\ii}{2} \erw{\comm{\op{A}}{\op{B}}}_{\psi} a^2=\erw{\op{A}^2}_{\psi}.$ (3)

Aufgrund der Hermitezität der Operatoren $ \op{A}$ und $ \op{B}$ sind die Koeffizienten des quadratischen Polynoms reell, und da es für alle $ \lambda \in \R$ positiv semidefinit ist, kann sein Radikand höchstens 0 sein. Daraus ergibt sich dann die Ungleichung

$\displaystyle a^2 b^2 \geq c^2$    oder $\displaystyle \vert a\vert \vert b\vert \geq \vert c\vert.$ (4)

Setzen wir hierin statt $ \op{A}$ und $ \op{B}$ die Operatoren $ \op{A}'=\op{A}-\erw{A}_{\psi}$ und $ \op{B}'=\op{B}-\erw{B}_{\psi}$ ein, folgt daraus die allgemeine Unschärferelation

$\displaystyle \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \left \vert \erw{\comm{\op{A}}{\op{B}}}_{\psi} \right \vert,$ (5)

wobei $ \Delta A$ die Standardabweichung der Observablen $ \op{A}$ aufgrund der Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Meßergebnisse ist, die durch den Zustand des Systems $ \ket{\psi}$ gegeben ist:

$\displaystyle \Delta A=\sqrt{\matrixe{\psi}{(\op{A}-\erw{A})^2}{\psi}}.$ (6)

Analog ist natürlich auch $ \Delta B$ definiert.



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