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Die Orts- Impulsunschärfe

Setzt man nun insbesondere $ \op{x}$ und $ \op{p}_x$ für $ \op{A}$ und $ \op{B}$ ein, folgt aus der Heisenbergalgebra die bekannte Orts-Impulsunschärferelation:

$\displaystyle \Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}.$ (7)

Die Unschärferelation beantwortet nun klar die Frage, was bei der Messung einer mit dem Systemzustand nicht verträglichen Observable passiert. Es ist i.a. gar nicht möglich, beide Observable gleichzeitig exakt zu messen (im Fall von Ort und Impuls ist das sogar immer der Fall, d.h. unabhängig vom Meßergebnis, denn die rechte Seite hängt in diesem Fall nicht vom Zustand $ \ket{\psi}$ des Systems ab, in dem es sich zum Zeitpunkt der Messung befindet).

Dies bedeutet aber, daß es sinnlos ist, zu behaupten, einem Teilchen käme überhaupt gleichzeitig ein scharfer Ort und Impuls zu. Es ist wohl eine der am schwierigsten vorzustellende Implikation der Quantentheorie, daß nicht alle sinnvoll definierbaren Observablen simultan am System simultan einen scharfen Wert besitzen können. Über sie sind nur Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich.

Um doch zu einer etwas greifbareren Anschauung zu gelangen, wollen wir uns noch ein wenig mit der Orts- und Impulsunschärfe eines Teilchens mit Spin 0 im Rahmen der nichtrelativistischen Quantentheorie befassen. Dabei wollen wir uns der Einfachheit halber auf die Bewegung in einer Raumdimension beschränken.

Der Zustand eines solchen Teilchen kann vollständig durch die Wellenfunktionen $ \psi(x)=\braket{x}{\psi}$ beschrieben werden. Betrachten wir als einfaches Beispiel ein Gaußsches Wellenpaket, also

$\displaystyle \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{\Delta x} (2 \pi)^{1/4}} \exp \left [- \frac{(x-x_0)^2}{4 \Delta x^2} \right].$ (8)

Dies beschreibt ein Teilchen, das sich im Mittel am Punkt $ x=x_0$ befindet, sich aber auch mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsdichte $ w(x)=\vert\psi(x)\vert^2$ an jedem beliebigen Punkt befinden kann. Die Standardabweichung ist $ \Delta x$.

Die Bedeutung der Unschärferelation wird nun deutlich, wenn wir den gleichen Zustand im Impulsraum betrachten. Es gilt

$\displaystyle \psi(p)=\braket{p}{\psi}=\int \d x \braket{p}{x} \psi(x).$ (9)

Nun ist aber

$\displaystyle \braket{p}{x}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left (-\ii \frac{x p}{\hbar} \right),$ (10)

und wir erhalten

$\displaystyle \psi(p)=\left(\frac{2}{\pi} \right)^{1/4} \sqrt{\frac{\Delta x}{\hbar}} \exp \left (-\frac{\Delta x^2 p^2+\ii \hbar p x_0}{\hbar^2} \right).$ (11)

Der Impulserwartungswert ist 0, und die Impulsunschärfe

$\displaystyle \Delta p^2=\int \d p \, p^2 \vert\psi(p)\vert^2=\frac{\hbar}{4 \Delta x^2},$ (12)

d.h. die Gaußverteilung ist gerade die Wellenfunktion, die ,,minimaler Unschärfe'', also $ \Delta x \Delta p=\hbar/2$ entspricht.

Damit ist aber die Unschärferelation für das Paar konjugierter Variablen ,,Ort'' und ,,Impuls'' wellenmechanisch verständlich geworden: Eine scharf gepeakte Ortswellenfunktion besitzt eine breite Fouriertransformierte, und das ist gerade die Impulswellenfunktion.



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