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Energieunschärfe und Meßprozeß

Wir wollen uns noch ein bißchen genauer mit dem Meßvorgang selber beschäftigen. Diese betrachtung wird auch etwas genauer aufzeigen, in welchem Sinne die Unschärferelation auf der unvermeidlich notwendigen Wechselwirkung zwischen Meßapparat und Meßobjekt beruht. Diese wichtige Interpretationshilfe für die Quantentheorie kommt deshalb nicht so deutlich zum Ausdruck, weil wir oben die Meßapparatur durch die formale Behandlung der Quantentheorie eliminiert haben. Wir werden jetzt den Meßapparat sehr schematisch wieder einführen und dabei der Diskussion in [LL77] folgen.

Wir beschreiben ihn einfach durch eine zeitunabhängige Störung des Systems, die Zur Zeit $ t=0$ eingeschaltet wird. Wir gehen davon aus, daß die Wechselwirkung zwischen Meßobjekt und Meßapparatur sehr klein gemacht werden kann, so daß die Anwendung der Störungstheorie in erster Ordnung gerechtfertigt ist.

Wir behandeln also ein Quantensystem, das aus Meßobjekt (Teilchen) und Meßapparat besteht. Die Meßdauer sei $ \Delta t$. Die Energien von Teilchen und Meßapparatur seien vor der Messung $ E_t$ und $ E_m$ bzw. nach der Messung $ E_t$ und $ E_m$. Wir wollen davon ausgehen, daß der Meßapparat makroskopische Ausmaße hat. Dann können wir dessen Energieunschärfen vernachlässigen, und wir dürfen davon ausgehen, daß $ E_m$ und $ E_m'$ exakt bekannt sind. Ferner seien $ E$ und $ E'$ die Gesamtenergie vor und nach der Messung.

Um die Vorstellung ein bißchen zu konkretisieren wollen wir unter dem ,,Energiemeßgerät'' ein Kalorimeter verstehen. Ein solcher Apparat wird auch in realen Experimenten an Teilchenbeschleunigern eingesetzt, um Energien von Teilchen zu messen. Dabei werden die Teilchen in ein Absorbermaterial gelenkt, wo sie durch Ionisations- und Strahlungsverluste abgebremst werden. Beliebt ist z.B. für Elektronen oder Photonen Natrium-Jodid, das als Szintillatormaterial genutzt wird, um die durch die diversen Abbremsprozeß erzeugten Photonen in einem Photomultiplier nachzuweisen und so die Energie des Teilchens zu bestimmen. Letztlich wird die Energie des Teilchens in Wärmeenergie des gesamten Meßapparates umgewandelt. Die Gesamtenergie ist aber durch die Temperatur bestimmt (kanonisches Ensemble!), und die Energiefluktuationen können im thermodynamischen Limes vernachlässigt werden. Es ist hier schon anschaulich klar, daß eine genaue Energiebestimmung eine gewisse Zeit braucht, nämlich mindestens bis die Teilchen vollständig abgebremst sind.

Wie wir im Anhang zeigen werden, ist die Wahrscheinlichkeitverteilung für die Energie nach einer Meßzeit $ \Delta t$

$\displaystyle w(E',\Delta t\vert E,0) = N \frac{\sin^2[(E'-E) t/(2 \hbar)]}{t^2 (E'-E)^2}.$ (15)

Der wahrscheinlichste Wert für die Energiedifferenz $ E-E'$ ist von der Größenordnung der ,,Breite'' der Verteilungsfunktion, also in unserem Falle

$\displaystyle \vert E-E'\vert \sim \frac{\hbar}{\Delta t}$ (16)

Wegen der Energieerhaltung für das Gesamtsystem müssen wir davon ausgehen, daß dies der statistischen Schwankung der Energie entspricht, d.h. wir haben für die Unschärfe der Energie des Teilchens (die Unschärfe der Energie des Meßapparates können wir Dank seiner makroskopischen Natur vernachlässigen):

$\displaystyle \Delta(E_t-E_t') \sim \frac{\hbar}{\Delta t}.$ (17)

Dies bedeutet, daß bei einer Messung der Energie, die eine endliche Zeit $ \Delta t$ dauert, eine unvermeidliche Ungenauigkeit beim Test des Energieerhaltungssatzes besteht, die durch die quantenmechanische Unschärfe gegeben ist. Dabei ist es unerheblich, wie schwach die Wechselwirkung des Meßapparates mit dem Meßobjekt ist. Unsere Abschätzung der Unschärfe beruhte ja auf der Störungsrechnung, die umso besser gerechtfertigt ist, je kleiner die Stärke dieser Wechselwirkung ist.



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