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Impulsmessungen

Wir können uns die Messung einer Impulskomponente idealisiert durch den Stoß des Teilchens mit einem total reflektierenden ,,ebenen Spiegel'' vorstellen. Die Impulse und Energien des Spiegels vor und nach der Messung dürfen wir uns wieder als praktisch exakt bekannt vorstellen, und zwar in demselben Sinne wie oben, weil es sich um einen Meßapparat mit makroskopischen Ausmaßen handelt. Wir messen dadurch natürlich die Impulskomponente senkrecht zum Spiegel. Die beiden unbekannten Größen sind nun die Impulse des Teilchens vor und nach der Messung, uns diese sind durch die Impulse des Spiegels vor und nach der Messung keineswegs exakt bestimmt. Wir benötigen also als zweite Information noch die Energie-Impulsbeziehung der Teilchen und eine Energiemessung. Diese ist aber entsprechend der obigen Unschärfebeziehung (17) mit von der Meßdauer abhängigen Unschärfe behaftet.

Aufgrund des Impulssatzes gilt nun $ \Delta p_t=\Delta p_t'$. Die Energieunschärfen des Teilchens vor und nach der Messung ist demnach durch die Energie-Impulsbeziehung gegeben:

$\displaystyle \Delta E_t=\frac{\d E_t}{\d p_t} \Delta p_t=v \Delta p_t$    und analog $\displaystyle \Delta E_t'=v' \Delta p_t'=v' \Delta p_t.$ (18)

Man beachte, daß hier nebenbei gezeigt wurde, daß die mit der oben bei der Herleitung von (17) gegebenen Interpretation der Geschwindigkeit als Gruppengeschwindigkeit der Materiewellen im Einteilchenbild korrekt war, denn es ist ja nach der de Brogliebeziehung $ v=\d E/\d p=\d \omega/\d k$, wobei $ \omega$ und $ k$ die Frequenz bzw. Wellenzahl der Materiewelle bezeichnen. Allerdings zeigt die gegebene Herleitung auch, daß die Interpretation als mittlere Teilchengeschwindigkeit auch noch im relativistischen Kontext korrekt ist, wo die Einteilchenwellenfunktionendarstellung ihre Grenzen hat, worauf wir unten noch genauer zurückkommen werden.

Damit ergibt sich aber jedenfalls die Impulsunschärfe zusammen mit (17) zu

$\displaystyle \Delta p \sim \frac{\hbar}{\Delta t \vert v'-v\vert}.$ (19)

Das ist nun eine sehr interessante Gleichung, denn sie zeigt, daß man den Impuls eines Teilchens nur dann beliebig genau messen kann, indem man entweder eine große Geschwindigkeitsänderung $ \vert v'-v\vert$ in Kauf nimmt oder eine große Meßdauer $ \Delta t$ benötigt.

Betrachtet man aber nun relativistische Teilchen, ist $ \vert v'-v\vert \leq
\vert v'\vert+\vert v\vert \leq 2c$, und wir haben

$\displaystyle \Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2 c \Delta t}$ (20)

Dies bedeutet, daß man aufgrund der Begrenztheit der Geschwindigkeit von Teilchen durch die Lichtgeschwindigkeit immer eine umso längere Meßzeit benötigt, je genauer man den Impuls des Teilchens messen will.

Die Zuordnung eines sehr scharfen Impulswertes eines Teilchens verlangt also im Rahmen der relativistischen Physik eine lange Dauer der Impulsmessung. Das verlangt aber, daß es nur dann sinnvoll ist, einem Teilchen einen bestimmten Impuls mit hoher Genauigkeit zuzuordnen, wenn es sich um ein freies Teilchen handelt, für das der Impuls während der gesamten zur Erreichung dieser Genauigkeit notwendigen großen Meßdauer konstant ist. Dies bedeutet, daß die Zuordnung eines scharfen Impulses im Rahmen der relativistischen Quantentheorie nur für freie Teilchen sinnvoll ist.



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