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Implikationen für die Ortsunschärfe

Gleichzeitig verschärft aber die Energie-Zeitunschärfe auch die Ungenauigkeit einer Ortsmessung. Wir werden sehen, daß im Rahmen der relativistischen Quantentheorie keine wechselwirkenden Theorien gibt, wo die Wechselwirkung die Teilchenzahl erhält. Vielmehr existieren zu jedem Teilchen notwendig auch Antiteilchen. Die formale Herleitung dafür erfordert komplizierte Gruppentheorie und ist ein bißchen verwickelt. Qualitativ läßt sich diese Folgerung jedoch bereits mit Hilfe der Unschärferelationen ziehen, wie wir nun zeigen wollen.

Für ein freies Teilchen lautet die relativistische Energie-Impulsbeziehung bekanntlich $ (E/c)^2-p^2=m^2 c^2$. Folgt man nun derselben heuristischen Argumentation wie in meiner Quantentheorie-FAQ, folgt daraus, daß die relativistischen Wellengleichungen für freie Teilchen stets neben den ebenen Wellenlösungen mit positiver Frequenz auch eine solche mit negativer Frequenz besitzen, und im Rahmen der Einteilcheninterpretation der Wellenmechanik würde dies bedeuten, daß keine untere Schranke für die Energie freier Teilchen existiert.

Bei der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kann dieses Problem natürlich nicht auftreten, denn es ist ja die Energie-Impulsbeziehung freier Teilchen $ E=p^2/(2m)$, und das bedeutet, daß die ebenen Wellen der freien Schrödingergleichung notwendig positive Frequenzen haben müssen, und man kann die Einstein-de Broglie-Beziehung zwischen Wellen- und Teilchengrößen in der üblichen Weise interpretieren, wobei die Bedingung, daß ein stabiler Grundzustand existiert, erfüllt ist.

Ist die Energie nämlich nicht nach unten beschränkt, könnte man ja sehr viele Teilchen in den Zuständen negativer Energie unterbringen, und so durch Hinzufügen beliebig vieler Teilchen in diese Zustände beliebig viel Energie gewinnen, ohne den Energiesatz zu verletzen. Es würde aber auch die gesamte Materie in diese Zustände negativer Energie stürzen, und nichts wäre stabil. Dirac hat das für Fermionen in einer heuristischen Weise gelöst, daß er gesagt hat, das Vakuum bestünde aus einem See von unendlich vielen Fermionen, die sämtliche Zustände negativer Energie auffüllen. Das Pauliverbot verhindert dann, daß noch mehr Fermionen in diese Zustände hineinstürzen können.

Ein schnelles Fermionen kann nun im Prinzip durch Streuung ein Fermion negativer Energie anregen, das ein Loch im ,,Diracsee'' hinterläßt und mit umgekehrtem Impuls wie ein Teilchen positiver Energie mit der entgegengesetzten Ladung aussieht. Das führte zur Vorhersage der Positronen, also der Antiteilchen der Elektronen.

Mittlerweile kennt man aber auch einen ganzen ,,Zoo'' von Bosonen (z.B. die Mesonen), und für diese ist das Argument mit dem Pauliverbot nicht mehr stichhaltig: Es können beliebig viele Bosonen einen Einteilchenzustand besetzen, und das würde wieder zum Kollaps führen.

Heute formuliert man die relativistische Quantentheorie wechselwirkender Teilchen daher in einer etwas formaleren Weise von vornherein als Vielteilchentheorie, nämlich als Quantenfeldtheorie. Dies ist immer dann eine sehr bequeme Beschreibung, wenn die Teilchenzahl nicht erhalten ist. Die Näherung, ein Teilchen mit einer Wellenfunktion zu beschreiben, funktioniert im relativistischen Bereich nur so lange, wie das Teilchen auch wirklich allein bleibt, und nicht durch Paarerzeugungsprozesse viele neue Teilchen entstehen.

Paarerzeugung findet nun immer statt, wenn die Stoßenergie größer wird als die Masse $ \times c^2$ des Paares. Wird diese Schwelle $ E_{\text{pb}}=2 m c^2$ überschritten, können neue Teilchen und Antiteilchen erzeugt werden.

Wollen wir nun die Position eines bestimmten Teilchens bestimmen, dürfen wir zur Messung also nicht beliebige Energien aufwenden. Denken wir uns etwa die Ortsmessung durch Photonen realisiert, das sog. ,,Heisenbergmikroskop'', d.h. strahlen wir mit elektromagnetischen Wellen auf das Teilchen und schauen nach, wo es ist, muß die Energie der Photonen, die auf das zu messende Teilchen im Maximalfall übertragen wird (entsprechend einer totalen Absorption des Photons), $ E_t-E_t' \lesssim 2 m c^2$ sein. Damit ist aber die Impulsunschärfe aufgrund des Impulserhaltungssatzes auch begrenzt, nämlich auf $ \Delta p_{\text{max}}^2 = (E_{\text{max}}/c)^2-m^2 c^2=3
m^2 c^2$

Die Orts-Impulsunschärferelation verlangt dann aber

$\displaystyle \Delta x \gtrsim \frac{\hbar}{2 \Delta p} \gtrsim \frac{\hbar}{2 \sqrt{3} mc}.$ (21)

Dies bedeutet also, daß auch die Ortsmessung nicht beliebig exakt durchgeführt werden kann, weil andernfalls die Individualität des Teilchens durch Produktion von neuen Teilchen verloren geht und man nicht sinnvoll vom Ort eines individuellen Teilchens sprechen kann.

Anschluß an die klassische Physik finden diese Betrachtungen, wenn wir dieselbe Diskussion für Photonen führen. Sie sind masselose Teilchen, so daß zu Ihrer Erzeugung gerade ihre Energie notwendig ist. Das zur Messung verwendete Teilchen muß also eine kleinere Energie haben als das zu vermessende Photon, damit nicht noch mehr zu ihm identische Photonen entstehen und es sinnvoll bleibt, von der Position des Einen Photons zu sprechen. Die maximal mögliche Impulsänderung des Photons bei der Messung ist also in diesem Falle $ E/c$, und die Ortsunschärfe ist also durch

$\displaystyle \Delta x \gtrsim \frac{\hbar}{p}$ (22)

gegeben, wobei $ p$ der Impuls des Photons ist. Auf der rechten Seite steht aber gerade die Wellenlänge des Photons. Das bedeutet mit anderen Worten, daß die Zuordnung eines bestimmten Ortes zu einem Photon nicht genauer möglich ist, als es dessen Wellenlänge vorgibt.

Dies ist auch aus der klassischen Elektrodynamik bekannt: Es ist nur solange sinnvoll, von einem Lichtstrahl zu sprechen, wie die Abmessungen der Öffnungen, durch die das Licht hindurchtreten muß, kleiner als die Wellenlänge des Lichtes sind. Diese Bild vom Licht als einem Strahl entspricht aber gerade einer Korpuskeltheorie des Lichtes, d.h. der Vorstellung das Licht bestehe aus einem Strom von Teilchen, die einer bestimmten Bahn folgen.

Dies erkennt man auch formal daran, daß die Wellenoptik in die Strahlenoptik übergeht, wenn man die Eikonalnäherung durchführt. Man gelangt dann von den Wellengleichungen, also den Maxwellgleichungen für elektrisches und magnetisches Feld zu einer Gleichung vom Typ der Hamilton-Jacobischen partiellen Differentialgleichung, die in der klassischen Mechanik eine Möglichkeit, Teilchenbewegungen zu beschreiben liefert. Die Lichtstrahlen sind die Charakteristiken der Eikonalgleichung, genau wie die Teilchenbahnen in der Hamiltonschen Mechanik die Charakteristiken der Hamilton-Jacobigleichung sind.

Betrachtet man allerdings die Lichtausbreitung in der Nähe von Körpern (Nähe heißt hier, daß man Abstände in der Größenordnung der Wellenlänge betrachtet), bricht die Eikonalnäherung zusammen, und es tritt Beugung auf, ein Phänomen, das strahlenoptisch nicht erklärt werden kann.



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