Nächste Seite: Literatur Aufwärts: Unschärferelation und relativistische Quantentheorie Vorherige Seite: Implikationen für die Ortsunschärfe   Inhalt

Implikationen für den Begriff des elektromagnetischen Feldes

Wir wenden uns nun einer spezifisch relativistischen Fragestellung zu, nämlich dem Begriff des elektromagnetischen Feldes und führen damit die Diskussion der qualitativen Anfangsgründen der QED, die wir mit unserer Betrachtung der Orts-Impuls und der damit implizierten Zeit-Energie-Unschärfe bereits begonnen haben, fort.

Zunächst müssen wir uns noch einmal der Gründe versichern, die zu der Einführung des Feldbegriffs in der klassischen relativistischen Physik führen: Während in der Galilei-Newtonschen Welt eine instantane Fernwirkung, wie sie paradigmatisch im Newtonschen Begriff der Gravitationswechselwirkung zwischen massiven Körpern exemplifiziert ist, keinerlei Widersprüche in sich birgt, ändert sich dies mit der Existenz einer endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit kausaler Wirkungen drastisch. Hier stellt schon das dritte Newtonsche Gesetz, also die actio $ =$ reactio ein Problem dar: Soll dieses Gesetz weiterbestehen, muß ja die Änderung der relativen Lage zweier voneinander entfernter Körper, die eine Änderung der wirkenden Kräfte hervorruft, instantan wirken, damit dieses Gesetz zu jeder Zeit erfüllt ist. Dies kann aber wegen der mit endlichen Wirkungsausbreitungsgeschwindigkeit immer nur näherungsweise für Bewegungen erfüllt sein, die quasi statisch ablaufen, d.h. wenn sich die Bewegungen der Körper so langsam vollzieht und die Entfernungen so klein sind, daß die Zeitdauer zur Wirkungsausbreitung (die sog. Retardierung) keine Rolle spielt.

Andererseits ist aber das Gesetz von Wirkung und Gegenwirkung insofern wichtig für die Physik, weil es den Impulserhaltungssatz impliziert und dieser läßt sich bekanntlich über das Noethertheorem als direkte Folge der räumlichen Translationsinvarianz der Naturgesetze deuten. Diese Annahme liegt der speziellen Relativitätstheorie schon in ihren Grundlagen zugrunde.

Aus dem Dilemma befreit man sich nun dadurch, daß man die Wechselwirkungen als lokal auffaßt, d.h. Kräfte werden nicht instantan übertragen, sondern durch Felder bewirkt. Dabei ist ein Feld eine dynamische Entität, die sich kontinuierlich im Raum ausbreitet, und zwar höchstens mit der Grenzgeschwindigkeit für Wirkungsausbreitungen. Nach allem was wir wissen, ist im Fall der elektromagnetischen Wechselwirkungen, diese Grenzgeschwindigkeit erreicht, und diese somit gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit $ c$ zu setzen, so wie wir es oben auch bereits getan haben.

Nun müssen physikalische Größen über Meßvorschriften quantitativ definiert werden. Klassisch geschieht dies durch die Vermessung der Kraftwirkungen des Feldes auf sog. Probeladungen. Darunter versteht man Ladungen hinreichend geringer Ausdehnungen (idealisiert betrachten wir Punktladungen), deren Ladungsbetrag man prinzipiell beliebig klein machen kann, und zwar klein gegen die Ladungen, die das Feld verursachen, das wir durch die Probeladungen vermessen wollen. Dann dürfen wir von der Rückwirkung der von den Probeladungen hervorgerufenen Eigenfeldern auf die Probeladungen selbst (kurz von der Selbstwechselwirkung) absehen.

Die dynamischen Gleichungen der Wechselwirkung zwischen Probeladungen und Feldern, also die Maxwellgleichungen ergeben für die Kraft

$\displaystyle \vec{F}(t,\vec{x})=\frac{q}{4 \pi} [\vec{E}(t,\vec{x}) + \frac{\vec{v}(t)}{c} \times \vec{B}(t,\vec{x})].$ (23)

Dies ist die Lorentzkraft, in der gerade die Selbstwechselwirkung der Probeteilchen mit ihren eigenen Feldern gegen die äußeren Felder vernachlässigt wird. Diese Gleichung gilt in jedem Inertialsystem und liese sich auch manifest kovariant formulieren, jedoch ist dies für die hier angestrebte qualitative Diskussion dem Verständnis nicht förderlich.

An dieser Gleichung wird nun aber bereits die Komplikation deutlich, die eine quantentheoretische Beschreibung mit sich bringt. Die Vermessung des gesamten elektromagnetischen Feldes würde ja verlangen, daß ich Ort und Geschwindigkeit des Teilchens zu jedem Zeitpunkt genau festlegen kann. Dies ist aber aufgrund der oben besprochenen Orts-Impulsunschärfe unmöglich, weil eine genaue Ortsfestlegung durch eine genaue Impulsfestlegung zerstört wird und umgekehrt.

Ein weiteres Problem ist die Tatsache, daß die Ladung quantisiert ist. Wollen wir nun im Extremfall das von einem Elementarteilchen bewirkte Feld vermessen, können wir keine ,,Probeladungen'' für diesen Fall finden, denn sie selber würden ja mindestens wieder Elementarteilchen sein müssen, und die Ladung ist immer in derselben Größenordnung wie die Ladung des Elementarteilchens, dessen Feld wir vermessen wollen.

Wir besprechen im folgenden, wie der Feldbegriff im Rahmen der Quantentheorie abgeändert werden muß. Wir werden sehen, daß die Quantentheorie nicht nur eine radikale Änderung der klassischen Punktmechanik impliziert, sondern mit ihr auch eine Änderung des klassischen Feldbegriffes bewirkt. Wir folgen hier nur kurz der Diskussion eines Papiers von N. Bohr und L. Rosenfeld [BR50].

Beginnen wir mit dem elektrischen Feld in $ x$-Richtung. Wir wollen dann gemäß der Lorentzkraftformel die Kraftwirkung auf eine ruhende Probeladung aufgrund des elektrischen Feldes messen. Dazu müssen wir die Kraft, also die Impulsänderung in $ x$-Richtung, und die Zeitdauer, in der diese erfolgt, genau messen. Damit ist es aber ausgeschlossen, daß wir den Ort allzu genau kennen können, d.h. wir können nur das über ein in $ x$-Richtung hinreichend großes räumliches Volumen gemittelte elektrische Feld messen. Sei das Zeitintervall $ T$ und die Ladung $ q$. Dann ist nach der Lorentzformel

$\displaystyle E_{x,\Delta V} = \frac{4 \pi}{q} \frac{p_{x}(t+T)-p_{x}(t)}{T}$ (24)

das mittlere elektrische Feld. Verwenden wir nun die Orts-Impulsunschärfe $ \Delta p_x \Delta x \approx \hbar$, so ist die Feldunschärfe also

$\displaystyle \Delta E_{x,\Delta V} \approx \frac{4 \pi \hbar}{q \Delta x T}.$ (25)

Dies bedeutet, daß wir eine genaue Auflösung des elektromagnetischen Feldes in der Umgebung von $ x$, also für kleines $ \Delta x$ nur erhalten können, wenn wir die Ladung des Testteilchens groß machen!

Damit kommt aber wieder das Problem des Eigenfeldes des Testteilchens zum Tragen, d.h. wir können die in der klassischen Feldtheorie so bequeme Definition der Probeladung, wo diese Selbstwirkung vernachlässigt werden konnte, nicht aufrecht erhalten. Man kann zeigen, daß es die Unsicherheit der Bestimmung dieses Eigenfeldes des Testteilchens ist.

Allerdings kann man hier die Argumentation umkehren, denn bei einem relativ schweren Teilchen mit großer Ladung ist dessen Behandlung als äußeres klassisches Feld für die quantentheoretische Bewegung des Elementarteilchens statthaft in diesem externen Feld statthaft, und dieses Problem läßt sich durch Lösen der entsprechenden Wellengleichung und störungstheoretische Behandlung der Quantenkorrekturen in recht guter Näherung behandeln.

Bei dieser Betrachtung zeigt sich dann auch, daß die bei der kanonischen Feldquantisierung auftretenden Feldstärkekommutatorrelationen aufgrund der in Abschnitt 1 besprochenen allgemeinen Unschärferelationen mit der über die Testladungsdefinition der Felder bewirkte Orts-Impulsunschärfe der Testladungen konsistent ist.

Für eine ausführliche und mathematischere Behandlung diese in moderneren Lehrbüchern leider vernachlässigten qualitative Bedeutung der Feldquantisierung und der Quantenfeldtheorie als einer Theorie über den Meßprozeß in der atomistischen Welt, sei auf [Hei54] verwiesen, einem Klassiker der QED-Lehrbuchliteratur, der allerdings naturgemäß in weiterführenden Teilen heutzutage angesichts der Entwicklung der Diagrammtechniken durch Feynman und die moderne Sicht und Technik der Renormierungstheorie nur noch als historische Quelle empfohlen werden kann.

Allerdings zeigen diese qualitativen Betrachtungen einmal mehr die Bedeutung der Quantentheorie als einer Theorie von Meßvorgängen im atomaren Bereich. Sie beschreibt also, was wir prinzipiell in einer atomistischen Welt über die elementaren Konstituenten überhaupt wissen können. Die Möglichkeit der Formalisierung dieser Überlegungen in abstrakte durch die Gruppentheorie der Raumzeit- und der Ladungsraumstruktur implizierte Quantentheorie, hat im Laufe der relativ kurzen Zeit von etwa 1950 bis 1973 zur Entwicklung des Standardmodells der Elementarteilchen geführt, von dem in dieser FAQ an anderer Stelle zu berichten sein wird.



Nächste Seite: Literatur Aufwärts: Unschärferelation und relativistische Quantentheorie Vorherige Seite: Implikationen für die Ortsunschärfe   Inhalt
FAQ Homepage