Untermannigfaltigkeiten

Als eine $p$ -dimensionale Untermannigfaltigkeit im $d$ -dimensionalen euklidischen Vektorraum bezeichnen wir differenzierbare Abbildungen $\vec{x}:U \rightarrow V$ , $q \mapsto \vec{s}(q)$ , wo $U \subseteq \R^p$ eine offene Menge ist, so daß die $\R^{p \times d}$ -Matrix

$$\begin{pmatrix}\frac{\partial x^1}{\partial q^1} & \ldots & \frac... ...l x^d}{\partial q^1} & \ldots & \frac{\partial x^d}{\partial q^p} \end{pmatrix}$$ (3.8)

vom Range $p$ ist, d.h. die Matrix $(\tilde{g}_{\alpha \beta})$ ist für alle $q \in U$ invertierbar:

$$\tilde{g}_{\alpha \beta}= \frac{\partial \vec{x}}{\partial q^{\alpha}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q^{\beta}}$$ (3.9)

Zur geometrischen Interpretation ist zu sagen, daß die $\partial \vec{x}/\partial q^{\alpha}$ gerade $p$ linear unabhängige Tangentialvektoren an die Untermannigfaltigkeit liefern. Man mache sich das an dem Fall $d=3$ , $p=2$ klar: Man hat dann eine zweidimensionale Fläche im Anschauungsraume vorliegen. Die Zahlen $\tilde{g}_{\alpha \beta}$ liefern dann eine lokale Metrik für die Tangentialvektoren. An jedem Punkt $P$ der Fläche, welcher durch den Ortsvektor $\vec{x}(q)=\overrightarrow{OP}$ eindeutig bestimmt ist, kann man sich also den Tangentialvektorraum $T_p$ befestigt denken, der über das Skalarprodukt im euklidischen dreidimensionalen Vektorraum ebenfalls ein Skalarprodukt ,,erbt''. Man nennt $\tilde{g}_{\alpha \beta}$ daher die durch $g_{jk}$ induzierte Metrik.

Als Beispiel nehmen wir die Kugelfläche mit Radius $\R$ , die wir fast überall durch zwei Winkel wie folgt parametrisieren können:

$$\vec{x}(\vartheta,\varphi)=R \begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \va... ...os \vartheta \end{pmatrix}, \quad \varphi \in [0,2 \pi), \vartheta \in (0,\pi).$$ (3.10)

Die lokale Metrik ist

$$(\tilde{g}_{\alpha \beta}) = R^2 \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \vartheta \end{pmatrix}.$$ (3.11)

Die Determinante ist im angegebenen Parameterbereich $\tilde{g}=R^4 \sin^2 \vartheta >0$ , so daß die Kugelfläche bis auf die beiden Punkte $\vartheta=0$ und $\vartheta=\pi$ eindeutig parametrisiert ist.

Wir können uns freilich noch einen Spezialfall veranschaulichen, nämlich den einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit. Das ist dann eine Kurve im Raum (wenn der zugrundeliegende Vektorraum $V$ dreidimensional ist) oder in der Ebene (wenn $V$ zweidimensional ist).

Die obige Definition im allgemeinen Falle einer $p$ -dimensionalen Untermannigfaltigkeit im euklidischen $d$ -dimensionalen Vektorraum $V$ ist dann zwar abstrakter, ist aber rein technisch nicht schwieriger zu handhaben als die anschaulichen Beispiele. In der Physik benötigt man diese allgemeineren Fälle manchmal in der speziellen Relativitätstheorie. Wir kommen darauf weiter unten noch zurück.