Die Differentialoperatoren in krummlinigen Orthonormalkoordinaten

Da wir die Vektoroperatoren über die Cartanableitungen definiert haben, brauchen wir nur die Rechnungen aus Abschnitt 2.4 zu vervollständigen. Es seien also $(q^k)$ generalisierte Orthogonalkoordinaten, $\vec{b}_k'$ die dazugehörigen holonomen Basisvektoren und $\vec{b}'{}^j$ deren Dualbasisvektoren. Weiter wollen wir wie dort auch hier vereinbaren, daß in Formeln, die die Komponenten bzgl. der normierten Basisvektoren enthalten, die Summationskonvention außer Kraft gesetzt sei, d.h. alle Summen über Indizes explizit notiert werden. Für die normierten Basisvektoren gelten dann (2.39) und (2.42), also

$$h_j=\sqrt{\vec{b}_j' \vec{b}_j'}, \quad \vec{e}_j=\frac{1}{h_j} \vec{b}_j'.$$ (6.16)

Beginnen wir mit dem Gradienten. Sei also $\phi$ ein Skalarfeld. Wegen (2.58) ist also

$$\dd y \phi = \partial_j \phi \vec{b}'{}^j = \sum_{j} \frac{1}{h_j... ...partial_j \phi) \vec{e}^j = \sum_{j} \frac{1}{h_j} (\partial_j \phi) \vec{e}_j.$$ (6.17)

Dabei haben wir benutzt, daß bzgl. der $\vec{e}_j$ die Metrikkomponenten $\delta_{jk}$ sind, weil die $\vec{e}_j$ ja die orthonormierten lokalen Basisvektoren bezeichnen. Wir haben für die Komponenten des Gradienten bzgl. der krummlinigen Orthonormalbasis also

$$\grad \; \phi=\sum_j \vec{e}_j \frac{1}{h_j} \partial_j \phi.$$ (6.18)

Für die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec{V}$ haben wir bereits in (2.48)

$$\div \vec{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_j \partial_j \left (\frac{h_1 h_2 h_3}{h_j} \tilde{A}^j \right ),$$ (6.19)

gefunden, wobei wir die Beziehung

$$\sqrt{g}=h_1 h_2 h_3$$ (6.20)

ausgenutzt haben. Die Komponenten Rotation eines Vektorfeldes bestimmen wir am einfachsten, indem wir zunächst die Definition (6.5) mit Hilfe der holonomen Basis ausdrücken:

$$\rot \vec{A}=\sum_{jkl} \epsilon^{jkl} \vec{b}_j' \partial_k A_l.$$ (6.21)

Wir wollen dies nun in Bezug auf die normierte Basis und mittels der dazugehörigen kontravarianten Komponenten $\tilde A^l$ ausdrücken. Dazu verwenden wir (6.4, 3.31, 6.16, 6.20) um nach einigen einfachen Umformungen das folgende Resultat zu erhalten:

$$\rot \vec{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_{jkl} \vec{e}_j h_j \Delta^{jkl} \partial_k (h_l \tilde{A}^l).$$ (6.22)