Der Begriff des Vektorraums

Ein Vektorraum ist ein geordnetes Paar, bestehend aus einer Menge $V$ und einem Zahlenkörper $\K$ , also $(V,\K)$ . Im folgenden verstehen wir unter $\K$ immer den Körper der reellen Zahlen $\R$ .

Auf diesem Paar werden nun zwei Verknüpfungen definiert, und zwar einmal die Vektoraddition und zum anderen die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl aus $\K$ , die sog. Skalarmultiplikation.

Diese Verknüpfungen sind im einzelnen wie folgt definiert: Die Vektoraddition bildet eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element der Nullvektor ist, d.h. im einzelnen

(A1)

Die Vektoraddition ist eine Abbildung $V \times V \rightarrow V$ , die wie folgt notiert wird: $\vec{a},\vec{b} \mapsto \vec{a}+\vec{b}$ .

(A2)

Sind $\vec{a}, \vec{b},\vec{c} \in V$ drei beliebige Vektoren gilt stets das Assoziativgesetz: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ .

A(3)

Es existiert ein neutrales Element der Addition $0 \in V$ , so daß für alle $\vec{a} \in V$ gilt: $\vec{a}+0=\vec{a}$ .

A(4)

Zu jedem Vektor $\vec{a} \in V$ existiert ein inverses Element $-\vec{a} \in V$ bzgl. der Addition, so daß $\vec{a}+(-\vec{a}):=\vec{a}-\vec{a}=0$ gilt.

A(5)

Es gilt das Kommutativgesetz, d.h. für $\vec{a},\vec{b} \in V$ gilt stets $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ .

Die Skalarmultiplikation erfüllt folgende Axiome:

M(1)

$\lambda \in \K, \, \vec{a} \in V \mapsto \lambda \vec{a} \in V$

M(2)

Für $\vec{a},\vec{b} \in V$ und $\lambda \in \K$ gilt $\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$ .

M(3)

Für $\lambda,\mu \in \K$ und $\vec{a} \in V$ gilt $(\lambda+\mu) \vec{a}=\lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$ .

M(4)

Für alle $\vec{a} \in V$ gilt $0 \vec{a}=0$ ^1.1.

Der wichtigste Begriff, den man mit diesem System von mathematischen Objekten konstruieren kann, ist der Begriff der Basis. Dazu definieren wir zunächst eine Menge von Vektoren $\{ \vec{a}_j \}_{j=1}^{n}$ als linear unabhängig, wenn die folgende Äquivalenz gilt:

$$\sum_{j=1}^{n} \lambda^j \vec{a}_j=0 \Leftrightarrow \lambda^j=0 j \in \{1,\ldots,n \}.$$ (1.1)

Dabei sind die $\lambda^j$ selbstverständlich Zahlen aus dem Skalarenkörper $\K$ ^1.2.

Wir bezeichnen weiter eine Menge von Vektoren $\{ \vec{b}_j \}_{j=1}^{n}$ als Erzeugendensystem, wenn zu jedem Vektor $\vec{x}$ Zahlen $x^j \in \K$ existieren, so daß

$$\vec{x}=\sum_{j=1}^{n} x^j \vec{b}_j.$$ (1.2)

Eine Basis ist nun ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren. Der Leser sollte sich klar machen, daß dann die Zahlen $x^j$ , die Komponenten des Vektors $\vec{x}$ bzgl. der Basis $\{\vec{b}_j \}_{j=1}^d$ durch die Wahl der Basis eindeutig bestimmt sind.

Ein Vektorraum, für den eine solche endliche natürliche Zahl $d$ existiert, heißt endlichdimensionaler Vektorraum. Wir gehen in diesem Skript stets davon aus, daß der Vektorraum endlichdimensional ist. Seine Dimension bezeichnen wir mit $d$ .

Im folgenden verwenden wir die Einsteinsche Summationskonvention, falls wir es nicht anders vereinbaren: Immer wenn ein gleichnamiger Index in einer Formel auftaucht, wobei einer als oberer Index und einer als unterer Index notiert ist, ist über diesen Index von $1$ bis $d$ zu summieren, ohne daß wir die Summe explizit anschreiben, d.h. wir können Gleichung (1.2) kurz auch in der Gestalt

$$\vec{x} = x^j \vec{b}_j$$ (1.3)

schreiben.