Orthonormalbasen

Eine Basis $\vec{e}_j$ des Vektorraums $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$$\vec{e}_j \vec{e}_k=\delta_{jk}$$ (1.37)

ist.

Wir zeigen jetzt, daß es stets eine Orthonormalbasis gibt. Wir können sie aus einer beliebigen Basis $\vec{b}_j$ mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens konstruieren. Dazu definieren wir zunächst

$$\vec{e}_1=\frac{1}{\sqrt{\vec{b}_1 \vec{b}_1}} \vec{b}_1.$$ (1.38)

Dies ist stets möglich, denn es sind die $\vec{b}_j$ voneinander linear unabhängig, also insbesondere von Null verschieden. Also ist $\vec{b}_1 \vec{b}_1>0$ , und die Wurzel ist reell. Offensichtlich gilt $\vec{e}_1 \vec{e}_1=1$ . Dann können wir weiter bilden

$$\vec{b}_2'=\vec{b}_2-(\vec{e}_1 \vec{b}_2) \vec{e}_1.$$ (1.39)

Da die Vektoren $\vec{b}_k$ linear unabhängig sind, ist $\vec{b}_2'$ ebenfalls linear unabhängig von den übrigen $\vec{b}_k$ und auch zu $\vec{e}_1$ . Setzen wir nun

$$\vec{e}_2=\frac{1}{\sqrt{\vec{b}_2' \vec{b}_2'}} \vec{b}_2',$$ (1.40)

haben wir immerhin schon erreicht, daß $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ zueinander orthogonal, d.h. $\vec{e}_1 \vec{e}_2=0$ , und normiert, d.h. $\vec{e}_1 \vec{e}_1=\vec{e}_2 \vec{e}_2=1$ sind.

Auf diese Art verfahren wir rekursiv weiter, bis wir $d$ orthonormierte Vektoren gefunden haben:

$$\vec{b}_{n+1}'=\vec{b}_{n+1}-\sum_{k=1}^{n} (\vec{e}_k \vec{b}_{n... ...ad \vec{e}_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{\vec{b}_{n+1}'\vec{b}_{n+1}' }} \vec{b}_{n+1}'.$$ (1.41)

Der Vorteil der Orthonormalsysteme ist, daß die Komponenten des Skalarproduktes besonders einfach werden:

$$g_{jk} = \vec{e}_j \vec{e}_k =\delta_{jk} \Rightarrow g^{jk} = \delta^{jk}.$$ (1.42)

Die ko- und kontravarianten Komponenten müssen also in diesem Fall im Sinne des Isomorphismusses (1.32) nicht mehr unterschieden werden. In vielen Lehrbüchern wird deshalb in euklidischen Vektorräumen grundsätzlich nur mit unteren Komponenten gerechnet und eine Unterscheidung zwischen Basen und Dualbasen gar nicht mehr vorgenommen. Vielmehr werden gleich die Linearformen mit den Vektoren im Sinne des Isomorphismus (1.32) identifiziert. Dies führt aber häufig zu Verwirrung, und es lohnt sich, allgemeine Rechnungen zunächst im allgemeinen Tensorkalkül auszuführen und dann im konkreten Falle, daß man mit Orthonormalbasen rechnen will, zu spezialisieren. Namentlich in der Tensoranalysis, die wir im nächsten Kapitel behandeln, wird uns diese Auffassung sehr zugute kommen.