Was ist das Zeilinger-Experiment?

Das Zeilinger-Experiment (siehe [Sud97] und [BPE⁺97]) besteht in der Teleportation der Polarisationsrichtung eines Photons. Alice hat ein Photon mit beliebiger Polarisationsrichtung

$$\mathinner{\vert{\psi_1}\rangle}=\alpha\mathinner{\vert{h}\rangle}_1+\beta\mathinner{\vert{v}\rangle}_1$$

und möchte Bob eine exakte Kopie dieses Photons übermitteln. Das geht folgendermaßen: Alice hat vorher mittels parametric down conversion einen verschränkten Zustand aus zwei korrelierten Photonen präpariert und Bob eines der beiden Photonen übermittelt (siehe Abbildung 1).

Abbildung 1: Aufbau des Zeilinger-Experiments. Alice strahlt zwei Laserpulse auf den BBO-Kristall ein. In den Fällen, in denen der erste Puls zunächst durchgelassen wird und erst nach Spiegelung an S1 down-conversion erfährt, das zweite jedoch gleich konvertiert wird, entsteht ein verschränktes Paar $\Psi_2$ und $\Psi_3$, sowie ein Nachrichtenphoton $\Psi_1$, dessen Polarisationsrichtung Alice nicht kennt. $\Psi_1$ ist eigentlich ebenfalls Teil eines verschränkten Paares, sein ,, Zwilling`` wird jedoch geblockt. Nach Spiegelung an S2 und S3 überlagern sich die Photonen $\Psi_1$ und $\Psi_2$ am Strahlteiler PST, Photon $\Psi_3$ hingegen wird Bob übermittelt. Wenn nun beide Detektoren D1 und D2 ein Photon registrieren, weiß Alice, daß Photon $\Psi_3$ dieselbe Polarisationsrichtung hat, wie vorher $\Psi_1$ (Details im Text).

Das verschränkte Photonenpaar 2 und 3 ist bei geeignetem Aufbau in folgendem Zustand:

$$\mathinner{\vert{\Psi_{23}^-}\rangle}= \frac{1}{\sqrt{2}}\... ...thinner{\vert{h}\rangle}_2\mathinner{\vert{v}\rangle}_3\right]$$

Interferenz am Strahlteiler (siehe Abbildung 1) erzeugt nun folgenden Zustand:

$$\begin{eqnarray*} \mathinner{\vert{\psi_1}\rangle}\mathinner{\vert{\Psi_{23}^-}... ...mathinner{\vert{v}\rangle}_2\mathinner{\vert{h}\rangle}_3\right] \end{eqnarray*}$$

Wenn es nun gelingt, diesen Zustand auf den Zustand $\mathinner{\vert{\Psi_{12}^-}\rangle}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \mathinner{\vert... ...{v}\rangle}_2-\mathinner{\vert{v}\rangle}_1\mathinner{\vert{h}\rangle}_2\right]$ zu projizieren, dann erhält man

$$\begin{eqnarray*} \mathinner{\langle{\Psi_{12}^-\vert\psi_1\Psi_{23}^-}\rangle}... ...mathinner{\vert{v}\rangle}_2\mathinner{\vert{h}\rangle}_3\right] \end{eqnarray*}$$

Wegen $\mathinner{\langle{h\vert h}\rangle}=\mathinner{\langle{v\vert v}\rangle}=1$ und $\mathinner{\langle{h\vert v}\rangle}=\mathinner{\langle{v\vert h}\rangle}=0$ ergibt das:

$$\mathinner{\langle{\Psi_{12}^-\vert\psi_1\Psi_{23}^-}\rangl... ...{\vert{v}\rangle}_3+\beta\mathinner{\vert{h}\rangle}_3 \right]$$

Wie kann Alice nun eine solche Projektion bewerkstelligen? Nun, Alice braucht eine Meßapparatur, die auf den antisymmetrischen Zustand $\mathinner{\vert{\Psi_{12}^-}\rangle}$ mit ihrem Äquivalent eines Zeigerausschlags reagiert, auf die anderen kohärenten Superpositionen von Photon 1 und 2 nicht. Alice kann dann zwar die Projektion nicht erzwingen, wohl aber feststellen, ob sie stattgefunden hat. Ein polarisierender Strahlteiler stellt eine solche Meßapparatur dar. Ein Blick auf Abbildung 1 zeigt: Wenn beide Detektoren gleichzeitig je ein Photon registrieren, dann gibt es zwei Möglichkeiten:

a)

beide Photonen wurden durchgelassen, D1 detektiert Photon 2 und D2 Photon 1.

b)

beide Photonen wurden reflektiert, D1 detektiert Photon 1 und D2 Photon 2.

Nun ist die Wellenfunktion, die die interferierenden Photonen beschreibt, im Fall b) gleich der von a) mit einer Phasenverschiebung von $\pi$ (durch die Reflexion im Strahlteiler) und einer Vertauschung von Photon 1 und 2 (umgangssprachlich $\hat{\mathcal{P}}_{12}$). Also wenn $\Psi_{12}$ symmetrisch war ( $\hat{\mathcal{P}}_{12}\mathinner{\vert{\Psi_{12}}\rangle}=\mathinner{\vert{\Psi_{12}}\rangle}$), dann

$$\mathinner{\vert{\Psi_b}\rangle}=e^{i\pi}\hat{\mathcal{P}}_... ...inner{\vert{\Psi_a}\rangle} =-\mathinner{\vert{\Psi_a}\rangle}$$

und wenn $\Psi_{12}$ antisymmetrisch war ( $\hat{\mathcal{P}}_{12}\mathinner{\vert{\Psi_{12}}\rangle}=-\mathinner{\vert{\Psi_{12}}\rangle}$), dann

$$\mathinner{\vert{\Psi_b}\rangle}=e^{i\pi}\hat{\mathcal{P}}_... ...hinner{\vert{\Psi_a}\rangle} =\mathinner{\vert{\Psi_a}\rangle}$$

Da aber, wenn D1 und D2 beide ein Photon detektieren, experimentell nicht zwischen a) und b) unterschieden werden kann, muß die tatsächliche Wellenfunktion der interferierenden Photonen aus einer Superposition von beiden Möglichkeiten bestehen. Wenn aber $\mathinner{\vert{\Psi_{12}}\rangle}$ symmetrisch war, ergibt das die Superposition von $\mathinner{\vert{\Psi_a}\rangle}$ und $\mathinner{\vert{\Psi_b}\rangle}=-\mathinner{\vert{\Psi_a}\rangle}$ und somit destruktive Interferenz und die Detektoren können nichts registrieren. Daraus folgt: wenn beide Detektoren gleichzeitig je ein Photon registrieren, dann müssen sich die Photonen 1 und 2 im antisymmetrischen Zustand $\mathinner{\vert{\Psi_{12}^-}\rangle}$ befunden haben, und Alice weiß nun, daß Bob ein Photon 3 erhalten hat, dessen Polarisationsrichtung mit der ursprünglichen Polarisationsrichtung von Photon 1 identisch ist. Bob weiß das natürlich noch nicht: erst nachdem ihm Alice (auf einem ,,normalen`` Übertragungskanal) mitgeteilt hat, daß beide Detektoren angesprochen haben, weiß er, daß die Teleportation erfolgreich war.