Was ist parametric down-conversion?

Kurz gesagt: Man nimmt einen Kristall aus $\beta$-Bariumborat, richtet ihn geeignet aus, schießt ein blaues Photon hinein, und bekommt zwei rote Photonen heraus. Energie- und Impulserhaltung verlangen nun, daß die möglichen Richtungen, in denen die Photonen den Kristall verlassen können, auf zwei (sich bei geeigneter Ausrichtung des Kristalls überschneidenden) Kegeln liegen, und daß die Richtung des einfallenden Lichtes und der beiden emittierten Photonen auf einer Ebene liegen. Das heißt, daß zwei Photonen, die in Richtungen emittiert werden, in denen sich die Kegel überschneiden (es kann durch eine geeignete Lochmaske sichergestellt werden, daß nur solche verwendet werden), einen verschränkten Zustand aus $\mathinner{\vert{h}\rangle}_1\mathinner{\vert{v}\rangle}_2$ und $\mathinner{\vert{v}\rangle}_1\mathinner{\vert{h}\rangle}_2$ bilden (siehe Abblidung 2).

Die Langversion ist ein wenig komplizierter: optical parametric down conversion, abgekürzt OPDC, ist ein nichtlinearer optischer Effekt, der klassisch nur in engen Grenzen beschreibbar ist (für eine schöne Einführung in die Theorie der nichtlinearen Optik, die weitgehend ohne Quantenmechanik auskommt, siehe zum Beispiel [Sau96]). Aber ein sehr ähnlicher Prozeß, der auf den ersten Blick wie die genaue Umkehrung von OPDC aussieht, kann ohne komplizierte Quantenmechanik zumindest in Grundzügen verstanden werden: Frequenzverdopplung (engl. second harmonic generation (SHG)). Die Idee dabei ist, daß das elektrische Feld des eingestrahlten Lichts im bestrahlten Medium eine Polarisation hervorruft, die, grob gesagt, nicht bloß eine lineare Funktion der elektrischen Feldstärke des einstrahlenden Lichts ist

$$P\propto E\cos\omega t$$

(wobei $E$ die Amplitude des elektrischen Feldes und $\omega$ die Kreisfrequenz des elektrischen Feldes des eingestrahlten Lichts ist), sondern auch einen quadratischen Term enthält:

$$P\propto E\cos\omega t + \left(E\cos\omega t\right)^2$$

Nun gilt aber natürlich folgendes Additionstheorem:

$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta) +\cos(\alpha+\beta)\right]$$

und insbesondere mit $\alpha=\beta$:

$$\cos^2\alpha=\frac{1}{2}\left[1+\cos(2\alpha)\right]$$

so daß die Strahlung, die das nichtlineare Medium verläßt, nicht nur aus Strahlung der ursprünglichen Frequenz besteht, sondern auch Strahlung der doppelten Frequenz enthält. Die quantenoptische Formulierung dieses Effektes ist komplizierter, aber die grundlegende Idee ist dieselbe.

Da aber nun die Gleichungen, die SHG bschreiben, reversibel sind, muß es auch den umgekehrten Effekt geben: Einstrahlung in ein nichtlineares Medium muß auch zu einer Frequenzhalbierung führen können. Die Bedingungen, unter denen das geschieht sind allerdings klassisch nicht verständlich zu machen [Blo96], aber die Quintessenz ist folgende: Wenn man einen Kristall aus $\beta$-Bariumborat, $\beta$-Ba(B$_2$O$_4$) (eigentlich besser $\beta$-Ba$_3$(B$_3$O$_6$)$_2$, siehe [Che93]) so ausrichtet, daß der Winkel zwischen einfallendem Licht ( $\lambda_{\mathrm{in}}=351.1\mbox{~$\mathrm{nm}$}$) und optischer Achse des Kristalls $49.63\mbox{$^{\circ}$}$ beträgt, verlassen zwei Strahlen ( $\lambda_{\mathrm{out}}=702\mbox{~$\mathrm{nm}$}$) in einem Winkel von $6\mbox{$^{\circ}$}$ zueinander den Kristall, die bei geeigneter Wahl der Phasenverschiebung (durch Rotation des Kristalls um seine Längsachse oder Verwendung eines Phasenshifters) folgenden (antisymmetrischen) verschränkten Zustand bilden[KMW⁺95]:

$$\mathinner{\vert{\Psi_{23}^-}\rangle}= \frac{1}{\sqrt{2}}\... ...thinner{\vert{h}\rangle}_2\mathinner{\vert{v}\rangle}_3\right]$$

Abbildung 2: Parametric down conversion im Zeilinger-Experiment. Schematische Darstellung. Ein Photon der Wellenlänge 394 $\mathrm{nm}$ wird in einem $\beta$-Bariumboratkristall in zwei Photonen der Wellenlänge 788 $\mathrm{nm}$ umgewandelt. Diese verlassen den Kristall auf Wegen, die auf zwei sich überschneidenden Kegeln liegen. Energie- und Impulserhaltung verlangen, daß die Wege der beiden Photonen einander gegenüberliegen. Zwei Wege (durch Pfeile angedeutet) erfüllen nicht nur die obigen Bedingungen, sondern machen die Photonen auch ununterscheidbar: ein verschränkter Zustand entsteht. Durch Rotation des BBO-Kristalls oder Verwendung eines Phasenshifters kann man jede kohärente Überlagerung der beiden Photonen erzeugen, insbesondere den antisymmetrischen verschränkten Zustand, in dem die Photonen orthogonal polarisiert sind.