Nächste Seite: Raumspiegelungen Aufwärts: Diskrete Symmetrietransformationen Vorherige Seite: Diskrete Symmetrietransformationen

Das Wigner-Theorem

Ein quantenmechanisches System läßt sich folgendermaßen charakterisieren: Es existiert ein Hilbertraum $ \mathscr{H}$, so daß der Zustand des Systems vollständig durch die Zuordnung eines Strahls $ [\vert\psi \rangle]$ bestimmt ist. Befindet sich das System im Zustand $ [\vert\psi_1 \rangle]$, so ist die Wahrscheinlichkeit, es im Zustand $ [\vert\psi_2 \rangle]$ zu finden, durch

$\displaystyle w_{12}=\frac{\vert\langle \psi_1 \vert \psi_2 \rangle\vert^2}{\Vert\psi_1\Vert^2 \Vert\psi_2 \Vert^2}$ (1)

gegeben. Es ist klar, daß $ w_{12}$ eine nur von der Wahl des Strahls im projektiven Raum $ [\mathscr{H}]$, nicht von der Wahl der Repräsentanten $ \vert\psi_1 \rangle$ und $ \vert\psi_2 \rangle$ abhängt.

Das (abgeschlossene) System selbst wird durch eine Strahldarstellung der Galileigruppe durch hermitesche Operatoren bestimmt. Eine Observable ist eine Funktion dieser hermiteschen Operatoren.

Der Hilbertraum kann aufgespannt werden durch simultane Eigenvektoren eines vollständigen Satzes untereinander kommutierender Observablen. Diese Eigenvektoren bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Die Dynamik des Systems wird von einem das System charakterisierenden hermiteschen von unten beschränkten Operator $ \hat{H}$, dem Hamiltonoperator, beschrieben, und zwar im folgenden Sinne. Es sei $ \{\hat{b}_k\}$ ein Erzeugendensystem der Operatoralgebra (für nichtrelativistische Systeme durch die Liealgebra der Galileigruppe definiert) und $ \hat{O}=f(\hat{b}_k,t)$ eine (eventuell explizit zeitabhängige) Observable. Dann wird die Observable, die die zeitliche Änderung von $ \hat{O}$ beschreibt, durch

$\displaystyle \dot{O}=\frac{1}{i}[\hat{O},\hat{H}]+\left(\frac{\partial \hat{O}}{\partial t} \right)_{\mathrm{expl}}$ (2)

gegeben. Die Operatoren $ \{\hat{b}_k\}$ sind dabei per definitionem nicht explizit zeitabhängig, und es ist zu beachten, daß der Punkt nicht die mathematische Zeitableitung des Operators $ \hat{O}$ bezeichnet.

Die Zeitentwicklung der Zustände bestimmt sich aus dieser Festlegung durch die Überlegung, daß die Observable, die die Frage beantwortet, ob das System durch den Zustand $ [\vert\psi \rangle]$ beschrieben wird, durch

$\displaystyle P_{\vert\psi \rangle}=\vert\psi \rangle \langle \psi\vert$ (3)

gegeben ist.

Dabei setzen wir, wie immer im folgenden, voraus, daß $ \vert\psi \rangle$ auf 1 normiert ist. Da die Zuordnung des durch $ [\vert\psi \rangle]$ gegebenen Zustandes zum System sich im Laufe der Zeit nicht ändert, gilt

$\displaystyle \dot{P}_{\vert\psi \rangle}=0$ (4)

Daraus folgt sofort, daß $ [\vert\psi \rangle]$ i.a. explizit zeitabhängig ist.

Die mathematische Zeitabhängigkeit von Observablen und Zuständen ist durch zwei hermitesche Operatoren $ \hat{A}, \hat{B}$ gegeben vermöge der Differentialgleichungen:

$\displaystyle \frac{d\hat{O}}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{i}[\hat{O},\hat{B}]+\frac{\partial \hat
{O}}{\partial t}$ (5)
$\displaystyle i \frac{d\vert\psi,t \rangle}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \hat{A} \vert\psi,t \rangle$ (6)

Die Postulate (2) und (4) ergeben dann die Bedingung

$\displaystyle \hat{H}=\hat{A}+\hat{B}$ (7)

Es ist klar, daß die physikalischen Aussagen nicht von der Wahl des Bildes, also der Wahl der Operatoren $ \hat{A}$ und $ \hat{B}$ abhängen dürfen. Es zeigt sich, daß ein Wechsel des Bildes durch eine zeitabhängige unitäre Transformation gegeben ist, so daß Matrixelemente von Operatoren und Skalarprodukte von Vektoren unter Bildtransformationen invariant sind (vgl. [Fick 79]).

Diese Betrachtungen zeigen, daß es viele äquivalente Möglichkeiten gibt, ein System quantenmechanisch zu beschreiben. Wir definieren daher eine Symmetrietransformation als eine invertierbare Abbildung des projektiven Hilbertraums in sich: $ S:[\mathscr{H}] \rightarrow [\mathscr{H}]$, für die folgendes gilt:

Sei $ \vert\psi \rangle \in \mathscr{H}$ beliebig. Dann definieren wir $ \vert\psi'\rangle$ durch $ S([\vert\psi\rangle])=[\vert\psi'
\rangle]$. Im übrigen ist $ \vert\psi'\rangle$ willkürlich. Dann gilt stets

$\displaystyle \forall [\psi_1],[\psi_2] \in [\mathscr{H}]: \, \vert\langle \psi_1' \vert\psi_2' \rangle\vert=\vert\langle \psi_1\vert\psi_2\rangle \vert$ (8)

Jetzt besagt das Theorem von E. P. Wigner über Symmetrietransformationen:

Durch geeignete Wahl der Phasen von $ \vert\psi \rangle$ und $ \vert\psi'\rangle$ läßt sich die Abbildung $ S$ in der oben angegebenen Weise zu einer Abbildung $ U_S:\mathscr{H} \rightarrow \mathscr{H}$ des Hilbertraums in sich liften. Dabei ist entweder

$\displaystyle \forall \alpha, \beta \in \mathscr{H};\mu, \lambda \in C: \, (\mu...
...rangle; \; \langle \alpha \vert \beta \rangle=\langle
\alpha'\vert\beta'\rangle$    (I)

oder

$\displaystyle \forall \alpha, \beta \in \mathscr{H};\mu, \lambda \in C: \, (\mu...
...ngle; \; \langle \alpha \vert \beta \rangle=\langle
\alpha'\vert\beta'\rangle^*$    (II)

Im Fall (I) ist die Abbildung $ U_S$ also unitär, im zweiten Falle antiunitär. Dabei ist ein antiunitärer Operator durch die in (II) gegebenen Eigenschaften definiert.

Wir beweisen nun das Theorem. Dazu sei die durch die Abbildung $ S$ induzierte Abbildung in $ \mathscr{H}$ zunächst durch die Minimalforderung $ S([\vert\psi \rangle])=[\psi'\rangle]$, aber ansonsten beliebig erklärt.

Sei nun $ \{\vert\alpha_n \rangle \}_{n \in N}$ ein VONS (Abkürzung für vollständiges Orthonormalsystem) von $ \mathscr{H}$. Wir zeigen jetzt, daß man die von $ S$ geliftete Abbildung durch geeignete Phasenwahl der $ \vert\alpha_n'\rangle$ so festlegen kann, daß auch diese Vektoren ein VONS bilden. Zunächst zeigen wir die Vollständigkeit. Sei $ \vert\psi'\rangle$ ein zu allen Vektoren $ \vert\alpha_n'\rangle$ orhtogonaler Vektor. Wegen der Umkehrbarkeit von $ S$ existiert dazu ein Vektor $ \vert\psi \rangle$, so daß $ S[\vert\psi \rangle]=[\vert\psi'\rangle]$. Wegen (8) ist $ \vert\psi \rangle$ orthogonal zu allen $ \vert\alpha_n\rangle$. Da diese Vektoren ein VONS bilden, ist $ \vert\psi \rangle=0$ und folglich auch $ \vert\psi'\rangle$.

Wegen (8) ist weiter $ \langle \alpha_n' \vert \alpha_m'
\rangle=\exp(i\tau_{mn}) \delta_{mn}$. Wir können nun die relativen Phasen der $ \vert\alpha_n'\rangle$ willkürlich so wählen, daß alle $ \tau_{mn}$ verschwinden. Wir gehen davon aus, daß dies der Fall ist.

Als nächstes betrachten wir die Vektoren $ \vert\phi_n \rangle:=\vert\alpha_1
\rangle + \vert\alpha_n \rangle$ und die ihnen zugeordneten Vektoren $ \vert\phi_n' \rangle$. Aus (8) folgt sofort, daß

$\displaystyle \langle \alpha_m'\vert\phi_n'\rangle = \exp(i\tau_m)(\delta_{m1}+\delta_{mn})$ (9)

ist. Da wir weiter die Phasen der $ \vert\alpha_n'\rangle$ so gewählt haben, daß sie ein VONS bilden, gilt damit sofort:

$\displaystyle \vert\phi_n' \rangle=\sum_m \vert\alpha_m' \rangle \langle \alpha...
...ngle = \exp(i\tau_1) \vert\alpha_1'\rangle+\exp(i \tau_2) \vert\alpha_n'\rangle$ (10)

Durch Umdefinition der Phasen der $ \vert\alpha_n'\rangle$ können wir erreichen, daß

$\displaystyle \vert\phi_n' \rangle = \vert\alpha_1'\rangle + \vert\alpha_n' \rangle$ (11)

Wir zeigen nun, daß sich dadurch die Eigenschaft der $ \vert\alpha_n'\rangle$, VONS zu sein, nicht ändert. Dazu hat man nur zu beachten, daß die Vollständigkeit und lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren durch eine Umdefinition der Phasen nicht zerstört wird. Das gleiche gilt auch für die Projektoreigenschaft:

$\displaystyle \sum_n \vert\alpha_n ' \rangle \langle \alpha_n'\vert=1$ (12)

Wendet man dies auf $ \vert\alpha_m' \rangle$ an, folgt aus der linearen Unabhängigkeit der $ \vert\alpha_n'\rangle$ sofort, daß $ \langle \alpha_n'
\vert\alpha_m' \rangle=\delta_{nm}$, also daß die $ \vert\alpha_n'\rangle$ weiterhin ein VONS bilden.

Wir zeigen nun, daß wir jetzt bereits die gewünschten Phasenbeziehungen festgelegt haben. Sei dazu $ \vert\psi \rangle$ ein beliebiger Vektor und $ c_n=\langle \alpha_n \vert \psi \rangle$. Weiter sei o.B.d.A. $ c_1 \neq 0$. Für die entsprechenden transformierten Vektoren ist wegen (12):

$\displaystyle \vert\psi' \rangle=\sum_n c_n'\vert\alpha_n'\rangle$    mit $\displaystyle c_n'=\langle \alpha_n' \vert \psi'\rangle$ (13)

Wegen (8) und (11) gilt:

$\displaystyle \vert c_n\vert=\vert c_n'\vert; \; \vert c_1+c_n\vert=\vert c_1'+c_n'\vert$ (14)

Da wir die Phase von $ \ket{\psi'}$ beliebig wählen dürfen, können wir verlangen, daß

$\displaystyle c_1=c_1'$ (15)

ist. Dann folgt aus (14) durch Quadrieren:

$\displaystyle c_1^*c_n+c_1 c_n^*=c_1^* c_n' + c_1 c_n'{}^*$ (16)

Multiplikation dieser Gleichung mit $ c_n'$ und Lösung der entstehenden quadratischen Gleichung für $ c_n'$ ergibt unter Berücksichtigung von (14) die beiden Möglichkeiten:

$\displaystyle c_n'=\left \{ \begin{array}{l} c_n \\ \frac{c_1}{c_1^*} c_n^* \end{array} \right .$ (17)

Wir können nun noch die Phase von $ \vert\psi \rangle$ beliebig wählen, weil auch dies für die durch S induzierten Zuordnung von Vektoren in $ \mathscr{H}$ ohne Belang ist. Wir wählen daher diese Phase so, daß $ c_1$ reell ist. Dann haben wir:

$\displaystyle c_n'=\left \{ \begin{array}{l} c_n \; \mathrm{(I)} \\ c_n^* \; \mathrm{(II)} \end{array} \right .$ (18)

D.h. wir können bei einem gegebenen Paar von Strahlen $ [\vert\psi \rangle]$ und $ [\vert\psi' \rangle]=S([\vert\psi \rangle])$ die Phasen der Repräsentanten so wählen, daß die oben behaupteten Beziehungen (I) oder (II) auf die Entwicklung bzgl. der Orthonormalbasen $ \vert\alpha_n\rangle$ und $ \vert\alpha_n'\rangle$ zutreffen.

Es ist klar, daß, wenn zwei Vektoren $ \vert\psi \rangle$ und $ \vert\phi
\rangle$ beide zugleich dieselbe der Eigenschaften (18I) oder (18II) erfüllen, auch die Behauptungen (I) und (II) für diese beiden Vektoren erfüllt sind.

Wir müssen also nur noch zeigen, daß in dem Fall, daß (18I oder II) für einen Vektor $ \vert\psi \rangle$ erfüllt ist, dieselbe Beziehung auch für jeden anderen Vektor $ \vert\phi
\rangle$ erfüllt sein muß.

Nehmen wir nun an, diese Annahme sei nicht erfüllt. Sei also etwa $ \vert\psi \rangle =\sum_n c_n \vert\alpha_n \rangle$ ein Vektor, der (18I) und $ \vert\phi \rangle=\sum_n d_n \vert \alpha_n \rangle$, der (18II) erfüllt, wobei wir annehmen, daß keiner der beiden Vektoren rein reelle Koeffizienten besitzt. Dann wäre ja auch die Gegenannahme gar nicht erfüllbar, weil ein Vektor mit rein reellen Koeffizienten stets beide Beziehungen (18) erfüllt. Es ist also $ c_n'=c_n$ und $ d_n'=d_n^*$. Dann folgt aber, weil die $ \vert\alpha_n'\rangle$ ein VONS bilden:

$\displaystyle \vert\langle \psi' \vert \phi'\rangle \vert = \vert \sum_n c_n^* d_n^* \vert \neq \vert\langle \psi \vert \phi \rangle \vert$ (19)

Die Gleichheit des Betrages des Skalarproduktes auf der linken mit dem auf der rechten Seite dieser Ungleichung war aber per definitionem vorausgesetzt. D.h. wenn ein Vektor in $ \mathscr{H}$ (18I bzw. II) erfüllt, trifft dies auch auf jeden anderen Vektor in $ \mathscr{H}$ zu. Damit haben wir das Theorem von E.P. Wigner vollständig bewiesen.

Wir bemerken noch folgendes über Symmetriegruppen, die eine einfach zusammenhängende Liegruppe bilden. Jede einzelne Transformation, zu einer Abbildung des Hilbertraums $ \mathscr{H}$ in sich geliftet, ist nach dem Wigner-Theorem entweder unitär oder antiunitär. Im unitären Fall bilden diese gelifteteten Transformationen eine Strahldarstellung der Gruppe, d.h. ist $ U:G \rightarrow \mathscr{\tilde{U}}(\mathscr{H})$ die entsprechende Abbildung der Gruppe in die Menge der auf $ \mathscr{H}$ unitären oder antiunitären Transformationen, so gilt

$\displaystyle U(g_1 g_2)=\exp[i\tau(g_1,g_2)] U(g_1) U(g_2)$ (20)

Sei nun $ \vert\psi \rangle$ ein beliebiger Vektor, $ c \in C \backslash R$ und $ g
\in G$. Da $ G$ eine einfach zusammenhängende Gruppe ist, existiert ein Weg, der das Gruppeneinselement $ 1_G$ mit g verbindet, also eine stetige Abbildung $ w:[0,1] \rightarrow G$, so daß $ w(0)=1_G$ und $ w(1)=g$ ist. Die Darstellungseigenschaften von $ U$ verlangen nun, daß $ U(1_G)=id_{\mathscr{H}}=:1$ ist. Jetzt definieren wir eine Abbildung $ c:[0,1] \rightarrow C$ mit

$\displaystyle U[w(t)]c \vert\psi \rangle = c(t) U[w(t)] \vert \psi \rangle$ (21)

Diese ist offenbar stetig.

Wegen des Wigner-Theorems ist für alle $ t \in [0,1]$ entweder $ c(t)=c$ oder $ c(t)=c^*$. Da nach Voraussetzung $ c$ nicht reell sein soll, muß wegen der Stetigkeit die Funktion $ c(t)$ konstant sein. Da $ c(0)=c$ wegen $ U[w(0)]=U(1_G)=1$ ist, ist also $ U[w(t)]$ stets unitär. D.h. Symmetrietransformationen können nur dann antiunitäre Operatoren im oben beschriebenen Sinne induzieren, wenn es sich um diskrete Symmetrietransformationen handelt. Dies ist, wie wir sehen werden, für die Zeitumkehrtransformation notwendig der Fall.




Nächste Seite: Raumspiegelungen Aufwärts: Diskrete Symmetrietransformationen Vorherige Seite: Diskrete Symmetrietransformationen
FAQ Homepage