Raumspiegelungen

Um die diskreten Symmetrien der Raum- und Zeitspiegelungen beschreiben zu können, bemerken wir, daß ein abgeschlossenes quantenmechanisches System galileiinvariant ist. Die Galileigruppe wird als kontinuierliche Symmetriegruppe durch eine unitäre Strahldarstellung beschrieben. Die Bedingung daß diese Gruppe Symmetriegruppe des Systems ist, schränkt die Form des Hamiltonoperators weitgehend ein.

Wir beginnen mit dem einfacheren Fall der Raumspiegelung. In Raum und Zeit bewirkt sie die folgende Transformation:

$$t \rightarrow t'=t; \; \vec{x} \rightarrow \vec{x}'=-\vec{x}$$ (22)

Dabei haben wir o.b.d.A. den Ursprung des Koordinatensystems zum Spiegelzentrum gemacht. Der geometrische Gehalt dieser Transformation besteht darin, daß wir von einem rechtshändigen Koordinatensystem zu einem linkshändigen (oder umgekehrt) übergehen.

Eine (eigentliche) Galileitransformation ist durch die Wirkung auf die Raum-Zeit-Koordinaten definiert:

$$t \rightarrow t'=t+a; \; \vec{x} \rightarrow \vec{x}'=O \vec{x} + \vec{v} t + \vec{b}$$ (23)

Dabei ist $a \in R; \; \vec{v},\vec{b} \in R^3; \; O \in SO[3]$.

Die Gruppenmultiplikation läßt sich durch Hintereinanderanwendung zweier solcher Wirkungen berechnen. Es ergibt sich, daß die Galileigruppe ein semidirektes Produkt aus Raum- und Zeittranslationen, Drehungen und Boosts ist. Die entsprechende Symmetriegruppe in der Quantenmechanik ist die Überlagerungsgruppe, in der die Drehgruppe $SO[3]$ durch ihre Überlagerung $SU[2]$ ersetzt ist. Diese quantentheoretische Galileigruppe ist einfach zusammenhängend und wird somit durch eine unitäre Strahldarstellung repräsentiert. Ein bekanntes Resultat von Wigner zeigt, daß es sich notwendig um eine Strahldarstellung handelt. Die unitären Darstellungen der Galileigruppe lassen sich zwar mit Hilfe der Forbeniusschen Methode der kleinen Gruppe gewinnen, erlauben aber alle keine Interpretation im Sinne der Quantentheorie ([Wigner 56]). Für die Frage nach dem Übergang von der Poincarégruppe zur Galileigruppe (Lichtgeschwingkeit $c\rightarrow \infty$) siehe [Weinberg 95].

Die Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Raumspiegelung zeigt, daß diese beiden Operationen miteinander vertauschen. Der Hilbertraum eines abgeschlossenen Systems läßt sich als orthogonale Summe von irreduziblen Darstellungsräumen der Drehungen aufspannen. D.h. man kann als VONS Gesamtdrehimpulseigenvektoren wählen. Nach dem Schurschen Lemma ist in diesen Unterräumen der Operator der Raumspiegelung (im folgenden Paritätsoperator genannt) proportional zur Identität. Wir bezeichnen den Paritätsoperator im folgenden mit $\hat{\Pi}$. Wegen $\hat{\Pi}^2=1$ ist also bei geeigneter Phasenwahl:

$$\left . \hat{\Pi} \right \vert _{\mathscr{H}_j} = \pm 1$$ (24)

Dabei ist $\mathscr{H}_j$ der bzgl. der Darstellung der Drehgruppe irrduzible Teilraum, der durch die Drehimpulsbetragsquantenzahl $j$ eindeutig charakterisiert ist. Dabei durchläuft $j$ für ein System mit Spinquantenzahl $s$ die Werte $s,s+1,\ldots$.

D.h. aber, daß $\hat{\Pi}$ in allen Unterräumen zu gegebenem $j$ unitär operiert. Da $\mathscr{H}$ orthogonale Summe dieser Unterräume ist, ist dies in ganz $\mathscr{H}$ der Fall. $\hat{\Pi}$ ist also unitär.

Es bleibt zu zeigen, daß dies konsistent mit der Heisenbergalgebra ist. Eine Hintereinanderausführung von Translation oder Galileiboost und Raumspiegelung zeigt, daß $\hat{\Pi}$ mit allen Orts- und Impulsoperatoren antikommutiert, d.h. diese Operatoren sind polare Vektoroperatoren, wie es das Wigner-Eckart-Theorem verlangt. Außerdem ist dieses Verhalten mit der Heisenbergschen Kommutatoralgebra von Orts- und Impulsoperatoren verträglich. Entsprechendes gilt von den Drehimpulsoperatoren, die (wie oben bereits ausführlich verwendet) mit $\hat{\Pi}$ kommutieren: Der Drehimpulsoperator ist ein Axialvektoroperator, und dieses Transformationsverhalten ist mit der Drehimpulsliealgebra verträglich.

Eine Hintereinanderausführung von Zeittranslationen, erzeugt vom Hamiltonoperator des Systems, und einer Raumspiegelung zeigt, daß

$$[\hat{H},\hat{\Pi}]=0$$ (25)

D.h. der Paritäsoperator kann simultan mit dem Hamiltonoperator diagonalisiert werden, und die Parität ist eine Erhaltungsgröße.

Es bleibt zu bemerken, daß die Raumspiegelsymmetrie in der Natur nur näherungsweise realisiert ist. Die schwache Wechselwirkung verletzt bekanntermaßen diese Symmetrie.