Zeitumkehr

Die Operation der Zeitumkehr auf klassischem Level ist wie folgt zu verstehen: Ein System werde durch die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen beschrieben. Der Hamiltonoperator ist Erzeugender der Bewegung, d.h. derjenigen kanonischen Transformation, die die Zeitentwicklung beschreibt. Das System starte zur Zeit $t=0$ mit bestimmten Anfangsbedingungen $(Q_0,P_0)$. Dabei bezeichnet $(Q,P)$ die kartesischen Koordinaten der Punktteilchen und deren generalisierte Impulse. Nach einer gewissen Zeit $t>0$ wird das System durch einen bestimmten Punkt $(Q(t),P(t))$ im Phasenraum beschrieben. Dabei bezeichnet $(Q,P)$ die kartesischen Koordinaten der Punktteilchen und deren generalisierte Impulse. Jetzt denken wir uns zur Zeit $t=0$ das System mit den Anfangsbedingungen $Q(t),-P(t)$ (bewegungsumgekehrte Anfangsbedingungen) gestartet. Es ist invariant gegenüber Zeitumkehr, wenn das System zur Zeit $t$ den Anfangszustand $(Q_0,P_0)$ erreicht.

All dies läßt sich formal so ausdrücken, daß beim Übergang $t \rightarrow t'=-t$ eine Trajektorie im Phasenraum durchlaufen wird, die bei entsprechender Wahl der bewegungsumgekehrten Anfangsbedingungen auch durch die hamiltonsche Zeitentwicklung beschrieben würde.

Anschaulich bedeutet das, daß ein rückwärts laufender Film eines physikalischen Prozesses, der durch die Hamiltonsche Mechanik beschrieben wird, einen physikalisch möglichen Vorgang beschreibt, der abläuft, wenn man das System im bewegungsumgekehrten Anfangszustand loslaufen läßt.

Diese Betrachtungen zeigen, daß die Zeitumkehroperation sich im Sinne einer Umkehr der Bewegung physikalisch realisieren läßt. Es ist klar, daß diese Realisierungsmöglichkeit für makroskopische Systeme nur rein prinzipiell möglich ist. Praktisch kann man niemals die Impulse von $10^{24}$ Teilchen umkehren, also die zeitumgekehrten Anfangsbedingungen realisieren.

Bei der Bestimmung der Eigenschaften des Zeitumkehroperators in der Quantenmechanik $\hat{\Theta}$ gehen wir davon aus, daß wir die Phasen geeignet gewählt haben, so daß $\hat{\Theta}^2=1$ ist.

Ein Blick auf (23) zeigt, daß $i \hat{p}$ mit $\hat{\Theta}$ kommutiert, $i \hat{x}$ hingegen antikommutiert. Für die Heisenbergsche Orts- Impulsalgebra bedeutet dies:

$$i \hat{\Theta}[\hat{x},\hat{p}] \hat{\Theta}=-i [\hat{x},\hat{p}]$$ (26)

Damit die Heisenbergalgebra auch für die zeitumgekehrten Operatoren gilt, muß also $\hat{\Theta}$ antiunitär sein. D.h. wie die klassischen Mechanik es nahelegt, ist der Ortsoperator gerade, der Impulsoperator ungerade unter Zeit-Spiegelungen.

Weiter berechnet man mit Hilfe von (23), daß die Zeitspiegelung mit der Rotation vertauscht, also die Drehimpulsoperatoren mit $\hat{\Theta}$ antikommutieren, d.h. der Drehimpuls ist ungerade unter Zeitspiegelungen. Dies ist konsistent mit der Definition der Bahndrehimpulsoperatoren $\hat{L}_j=\epsilon_{jkl} \hat{x}^k \hat{p}^l$ und mit der Liealgebra der Drehgruppe.

Jetzt wenden wir uns der Betrachtung des Hamiltonoperators zu. Hier ist es bequem, das Schrödingerbild zu wählen. Es ist klar, daß dies keine Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet, weil alle Bilder der Quantenmechanik unitär äquivalent sind. Im Schrödingerbild wird die Zeitentwicklung des Zustandsvektors vom Hamiltonoperator erzeugt, und die Zustände sind zeitunabhängig (es sei denn es liegt eine explizite Zeitabhängigkeit vor).

D.h. eine infinitesimale Zeitentwicklung ist durch

$$\vert\psi;\delta t \rangle = (1- i \hat{H} \delta t) \vert\psi;0 \rangle$$ (27)

gegeben, und die Forderung, daß die Zeitumkehr eine Symmetrietransformation ist, verlangt, daß

$$\hat{\Theta} \vert\psi;-\delta t \rangle = \hat{\Theta} [1- i \ha... ...)] \vert\psi;0 \rangle = (1-i \hat{H} \delta t)\hat{\Theta} \vert\psi;0 \rangle$$ (28)

Da der Anfangszustand $\vert\psi;0 \rangle$ beliebig in $\mathscr{H}$ gewählt werden kann, folgt daraus unter Beachtung der Antiunitarität des Zeitumkehroperators, daß

$$[\hat{\Theta},\hat{H}]=0$$ (29)

wie es für eine Symmetrietransformation sein muß. Hieran läßt sich auch noch die Konsistenz der Wahl des Zeitumkehroperators als antiunitär nachweisen: Das Energie-Spektrum der zeitumgekehrten Zustände ändert sich nicht, und folglich bleibt der Hamiltonoperator unter Zeitumkehr beschränkt.